Lineare Algebra Beispiele

$\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = \frac{5}{6}$ , $\frac{x}{5} - \frac{y}{4} = \frac{57}{10}$

Schritt 1

Ermittle $A X = B$ aus dem Gleichungssystem.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} & - \frac{1}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{6} \\ \frac{57}{10} \end{array}]$

Schritt 2

Finde die Inverse der Koeffizientenmatrix.

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Schritt 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2.2

Find the determinant.

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Schritt 2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{5} (- \frac{1}{3})$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} - \frac{1}{5} (- \frac{1}{3})$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{1}{5} (- \frac{1}{3})$

Schritt 2.2.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{5} (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{8} + 1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{5 \cdot 3}$

Schritt 2.2.2.1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{15}$

Schritt 2.2.2.2

Um $- \frac{1}{8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15}$

Schritt 2.2.2.3

Um $\frac{1}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{15}{15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 2.2.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $120$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$- \frac{15}{8 \cdot 15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 2.2.2.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $15$ .

$- \frac{15}{120} + \frac{1}{15} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 2.2.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{15}{120} + \frac{8}{15 \cdot 8}$

Schritt 2.2.2.4.4

Mutltipliziere $15$ mit $8$ .

$- \frac{15}{120} + \frac{8}{120}$

Schritt 2.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 15 + 8}{120}$

Schritt 2.2.2.6

Addiere $- 15$ und $8$ .

$\frac{- 7}{120}$

Schritt 2.2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{120}$

Schritt 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{7}{120}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{7}{120}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\frac{7}{120}} [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{120}{7})) [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{120}{7}$ mit $1$ .

$- \frac{120}{7} [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.8

Multipliziere $- \frac{120}{7}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{120}{7} (- \frac{1}{4}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.9.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{120}{7}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 120}{7} (- \frac{1}{4}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 120}{7} \cdot \frac{- 1}{4} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 120$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{4 (- 30)}{7} \cdot \frac{- 1}{4} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot - 30}{7} \cdot \frac{- 1}{4} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.1.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 30}{7} \cdot - 1 & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.2

Kombiniere $\frac{- 30}{7}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 30 \cdot - 1}{7} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.9.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{120}{7}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & \frac{- 120}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 120$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & \frac{3 (- 40)}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & \frac{3 \cdot - 40}{7} \cdot \frac{1}{3} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.4.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & \frac{- 40}{7} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ - \frac{120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.9.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{120}{7}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{- 120}{7} (- \frac{1}{5}) & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.6.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{- 120}{7} \cdot \frac{- 1}{5} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.6.3

Faktorisiere $5$ aus $- 120$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{5 (- 24)}{7} \cdot \frac{- 1}{5} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{5 \cdot - 24}{7} \cdot \frac{- 1}{5} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.6.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{- 24}{7} \cdot - 1 & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.7

Kombiniere $\frac{- 24}{7}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{- 24 \cdot - 1}{7} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.8

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & - \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.9.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{120}{7}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & \frac{- 120}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 120$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & \frac{2 (- 60)}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & \frac{2 \cdot - 60}{7} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 2.9.9.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & \frac{- 60}{7} \end{array}]$

Schritt 2.9.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & - \frac{60}{7} \end{array}]$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Matrizengleichung von links mit der inversen Matrix.

$([\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & - \frac{60}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} & - \frac{1}{4} \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & - \frac{60}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{5}{6} \\ \frac{57}{10} \end{array}]$

Schritt 4

Jede Matrix multipliziert mit ihrer Inversen ist immer gleich $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & - \frac{60}{7} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{5}{6} \\ \frac{57}{10} \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $[\begin{array}{c} \frac{30}{7} & - \frac{40}{7} \\ \frac{24}{7} & - \frac{60}{7} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{5}{6} \\ \frac{57}{10} \end{array}]$ .

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Schritt 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Schritt 5.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{6} - \frac{40}{7} \cdot \frac{57}{10} \\ \frac{24}{7} \cdot \frac{5}{6} - \frac{60}{7} \cdot \frac{57}{10} \end{array}]$

Schritt 5.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} - 29 \\ - 46 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache die linke und rechte Seite.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 29 \\ - 46 \end{array}]$

Schritt 7

Ermittle die Lösung.

$x = - 29$

$y = - 46$