Lineare Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}}{\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{(\sqrt{3} - 4 \sqrt{5}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{{\sqrt{3}}^{2} + 4 \sqrt{15} - 4 \sqrt{15} - 16 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 3

Multipliziere $(\sqrt{5} - 2 \sqrt{6}) (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} (\sqrt{3} + 4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5} (4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{15} + \sqrt{5} (4 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $\sqrt{5} (4 \sqrt{5})$ .

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Schritt 4.1.3.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{15} + 4 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{1 + 1} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{15} + 4 {\sqrt{5}}^{2} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.4

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{15} + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5^{1} - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{15} + 4 \cdot 5 - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{6} \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.6

Multipliziere $- 2 \sqrt{6} \sqrt{3}$ .

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Schritt 4.1.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{3 \cdot 6} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})}{- 77}$

Schritt 4.1.10

Multipliziere $- 2 \sqrt{6} (4 \sqrt{5})$ .

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Schritt 4.1.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{6} \sqrt{5}}{- 77}$

Schritt 4.1.10.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{5 \cdot 6}}{- 77}$

Schritt 4.1.10.3

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{30}}{- 77}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{30}}{77}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{15} + 20 - 6 \sqrt{2} - 8 \sqrt{30}}{77}$

Dezimalform:

$0.36922211 \dots$