Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & - 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & - 7 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Schritt 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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Schritt 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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Schritt 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 7 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.1.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.1.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{11} = 3 \cdot 6 - (- 7 \cdot 4)$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$a_{11} = 18 - (- 7 \cdot 4)$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 7 \cdot 4)$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$a_{11} = 18 - - 28$

Schritt 2.1.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 28$ .

$a_{11} = 18 + 28$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere $18$ und $28$ .

$a_{11} = 46$

Schritt 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

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Schritt 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{12} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 4$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$a_{12} = 12 - 5 \cdot 4$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$a_{12} = 12 - 20$

Schritt 2.2.2.2.2

Subtrahiere $20$ von $12$ .

$a_{12} = - 8$

Schritt 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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Schritt 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.3.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{13} = 2 \cdot - 7 - 5 \cdot 3$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$a_{13} = - 14 - 5 \cdot 3$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$a_{13} = - 14 - 15$

Schritt 2.3.2.2.2

Subtrahiere $15$ von $- 14$ .

$a_{13} = - 29$

Schritt 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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Schritt 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 \\ - 7 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{21} = 0 \cdot 6 - (- 7 \cdot - 2)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $6$ .

$a_{21} = 0 - (- 7 \cdot - 2)$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 7 \cdot - 2)$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 2$ .

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 14$

Schritt 2.4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$a_{21} = 0 - 14$

Schritt 2.4.2.2.2

Subtrahiere $14$ von $0$ .

$a_{21} = - 14$

Schritt 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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Schritt 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.5.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{22} = 4 \cdot 6 - 5 \cdot - 2$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$a_{22} = 24 - 5 \cdot - 2$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$a_{22} = 24 + 10$

Schritt 2.5.2.2.2

Addiere $24$ und $10$ .

$a_{22} = 34$

Schritt 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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Schritt 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

Schritt 2.6.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.6.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{23} = 4 \cdot - 7 - 5 \cdot 0$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 7$ .

$a_{23} = - 28 - 5 \cdot 0$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$a_{23} = - 28 + 0$

Schritt 2.6.2.2.2

Addiere $- 28$ und $0$ .

$a_{23} = - 28$

Schritt 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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Schritt 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.7.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.7.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{31} = 0 \cdot 4 - 3 \cdot - 2$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$a_{31} = 0 - 3 \cdot - 2$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$a_{31} = 0 + 6$

Schritt 2.7.2.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$a_{31} = 6$

Schritt 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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Schritt 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.8.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.8.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{32} = 4 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$a_{32} = 16 - 2 \cdot - 2$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$a_{32} = 16 + 4$

Schritt 2.8.2.2.2

Addiere $16$ und $4$ .

$a_{32} = 20$

Schritt 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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Schritt 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.9.2

Evaluate the determinant.

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Schritt 2.9.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{33} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$a_{33} = 12 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$a_{33} = 12 + 0$

Schritt 2.9.2.2.2

Addiere $12$ und $0$ .

$a_{33} = 12$

Schritt 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 46 & 8 & - 29 \\ 14 & 34 & 28 \\ 6 & - 20 & 12 \end{array}]$

Schritt 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 46 & 14 & 6 \\ 8 & 34 & - 20 \\ - 29 & 28 & 12 \end{array}]$