Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 3 & 4 & x \\ 5 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Schritt 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.1.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{11} = 0 \cdot 2 - 1 \cdot 0$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$2$ .

$a_{11} = 0 - 1 \cdot 0$

Schritt 2.1.2.2.2

Subtrahiere

$0$ von

$0$ .

$a_{11} = 0$

Schritt 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{12} = 5 \cdot 2 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$2$ .

$a_{12} = 10 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$0$ .

$a_{12} = 10 + 0$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere

$10$ und

$0$ .

$a_{12} = 10$

Schritt 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{13} = 5 \cdot 1 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$1$ .

$a_{13} = 5 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$0$ .

$a_{13} = 5 + 0$

Schritt 2.3.2.2.2

Addiere

$5$ und

$0$ .

$a_{13} = 5$

Schritt 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & x \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{21} = 4 \cdot 2 - x$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$2$ .

$a_{21} = 8 - x$

Schritt 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & x \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.5.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{22} = - 3 \cdot 2 - 2 x$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$2$ .

$a_{22} = - 6 - 2 x$

Schritt 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.6.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{23} = - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 4$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$a_{23} = - 3 - 2 \cdot 4$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$4$ .

$a_{23} = - 3 - 8$

Schritt 2.6.2.2.2

Subtrahiere

$8$ von

$- 3$ .

$a_{23} = - 11$

Schritt 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 2.7.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{31} = 4 \cdot 0 + 0 x$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$0$ .

$a_{31} = 0 + 0 x$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$x$ .

$a_{31} = 0 + 0$

Schritt 2.7.2.2.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$a_{31} = 0$

Schritt 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & x \\ 5 & 0 \end{array} |$

Schritt 2.8.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{32} = - 3 \cdot 0 - 5 x$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$0$ .

$a_{32} = 0 - 5 x$

Schritt 2.8.2.2.2

Subtrahiere

$5 x$ von

$0$ .

$a_{32} = - 5 x$

Schritt 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 5 & 0 \end{array} |$

Schritt 2.9.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{33} = - 3 \cdot 0 - 5 \cdot 4$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$0$ .

$a_{33} = 0 - 5 \cdot 4$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 5$ mit

$4$ .

$a_{33} = 0 - 20$

Schritt 2.9.2.2.2

Subtrahiere

$20$ von

$0$ .

$a_{33} = - 20$

Schritt 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 0 & - 10 & 5 \\ - (8 - x) & - 6 - 2 x & 11 \\ 0 & 5 x & - 20 \end{array}]$