Lineare Algebra Beispiele

$\frac{1}{3} y - \frac{2}{3} x = 1$ , $10 x - 5 y = - 15$

Step 1

Ermittle $A X = B$ aus dem Gleichungssystem.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 15 \end{array}]$

Step 2

Finde die Inverse der Koeffizientenmatrix.

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Die Inverse einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $| A |$ die Determinante von $A$ ist.

Wenn $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ , dann $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Finde die Determinante von $[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array}]$ .

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Dies sind beides gültige Schreibweisen für die Determinante einer Matrix.

$Determinante [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array}] = | \begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(- \frac{2}{3}) (- 5) - 10 (\frac{1}{3})$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Multipliziere $(- \frac{2}{3}) (- 5)$ .

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Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$5 (\frac{2}{3}) - 10 (\frac{1}{3})$

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - 10 (\frac{1}{3})$

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{3} - 10 (\frac{1}{3})$

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 10}{3}$

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{10}{3} - \frac{10}{3}$

Kombiniere Brüche.

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Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 - 10}{3}$

Vereinfache den Ausdruck.

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Subtrahiere $10$ von $10$ .

$\frac{0}{3}$

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0$

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Inverse einer Matrix ein.

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} - 5 & - (\frac{1}{3}) \\ - (10) & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Stelle $- (\frac{1}{3})$ um.

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} - 5 & - \frac{1}{3} \\ - (10) & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Stelle $- (10)$ um.

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} - 5 & - \frac{1}{3} \\ - 10 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Multipliziere $\frac{1}{0}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{0} \cdot - 5 & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{1}{3}) \\ \frac{1}{0} \cdot - 10 & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Stelle $\frac{1}{0} \cdot - 5$ um.

$[\begin{array}{c} Undefined & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{1}{3}) \\ \frac{1}{0} \cdot - 10 & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Da die Matrix nicht definiert ist, kann sie nicht gelöst werden.

$Undefined$

Undefiniert