Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 6 & 4 & 2 \\ 5 & 1 & 8 \\ 6 & 8 & 7 \end{array}]$

Schritt 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Schritt 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 8 & 7 \end{array} |$

Schritt 2.1.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{11} = 1 \cdot 7 - 8 \cdot 8$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1.1

Mutltipliziere

$7$ mit

$1$ .

$a_{11} = 7 - 8 \cdot 8$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$8$ .

$a_{11} = 7 - 64$

Schritt 2.1.2.2.2

Subtrahiere

$64$ von

$7$ .

$a_{11} = - 57$

Schritt 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ 6 & 7 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{12} = 5 \cdot 7 - 6 \cdot 8$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$7$ .

$a_{12} = 35 - 6 \cdot 8$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$8$ .

$a_{12} = 35 - 48$

Schritt 2.2.2.2.2

Subtrahiere

$48$ von

$35$ .

$a_{12} = - 13$

Schritt 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{13} = 5 \cdot 8 - 6 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$8$ .

$a_{13} = 40 - 6 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$1$ .

$a_{13} = 40 - 6$

Schritt 2.3.2.2.2

Subtrahiere

$6$ von

$40$ .

$a_{13} = 34$

Schritt 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 8 & 7 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{21} = 4 \cdot 7 - 8 \cdot 2$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$7$ .

$a_{21} = 28 - 8 \cdot 2$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 8$ mit

$2$ .

$a_{21} = 28 - 16$

Schritt 2.4.2.2.2

Subtrahiere

$16$ von

$28$ .

$a_{21} = 12$

Schritt 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 2 \\ 6 & 7 \end{array} |$

Schritt 2.5.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{22} = 6 \cdot 7 - 6 \cdot 2$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1.1

Mutltipliziere

$6$ mit

$7$ .

$a_{22} = 42 - 6 \cdot 2$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$2$ .

$a_{22} = 42 - 12$

Schritt 2.5.2.2.2

Subtrahiere

$12$ von

$42$ .

$a_{22} = 30$

Schritt 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 6 & 8 \end{array} |$

Schritt 2.6.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{23} = 6 \cdot 8 - 6 \cdot 4$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1.1

Mutltipliziere

$6$ mit

$8$ .

$a_{23} = 48 - 6 \cdot 4$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$4$ .

$a_{23} = 48 - 24$

Schritt 2.6.2.2.2

Subtrahiere

$24$ von

$48$ .

$a_{23} = 24$

Schritt 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 2 \\ 1 & 8 \end{array} |$

Schritt 2.7.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{31} = 4 \cdot 8 - 1 \cdot 2$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$8$ .

$a_{31} = 32 - 1 \cdot 2$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$a_{31} = 32 - 2$

Schritt 2.7.2.2.2

Subtrahiere

$2$ von

$32$ .

$a_{31} = 30$

Schritt 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Schritt 2.8.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{32} = 6 \cdot 8 - 5 \cdot 2$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1.1

Mutltipliziere

$6$ mit

$8$ .

$a_{32} = 48 - 5 \cdot 2$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 5$ mit

$2$ .

$a_{32} = 48 - 10$

Schritt 2.8.2.2.2

Subtrahiere

$10$ von

$48$ .

$a_{32} = 38$

Schritt 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 & 4 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.9.2

Evaluate the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a_{33} = 6 \cdot 1 - 5 \cdot 4$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1.1

Mutltipliziere

$6$ mit

$1$ .

$a_{33} = 6 - 5 \cdot 4$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 5$ mit

$4$ .

$a_{33} = 6 - 20$

Schritt 2.9.2.2.2

Subtrahiere

$20$ von

$6$ .

$a_{33} = - 14$

Schritt 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 57 & 13 & 34 \\ - 12 & 30 & - 24 \\ 30 & - 38 & - 14 \end{array}]$