Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

$p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

$4$ ist die

$4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze

$A$ durch

$[\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 3.2

Ersetze

$I_{4}$ durch

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.11

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.12.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.13.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.14.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.15.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.16

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 + 0 & 2 + 0 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - λ & 5 + 0 & - 8 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & 7 - λ & - 11 + 0 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere

$- 4$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 + 0 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - λ & 5 + 0 & - 8 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & 7 - λ & - 11 + 0 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere

$2$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - λ & 5 + 0 & - 8 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & 7 - λ & - 11 + 0 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere

$- 2$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 + 0 & 5 - λ & 5 + 0 & - 8 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & 7 - λ & - 11 + 0 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere

$1$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 - λ & 5 + 0 & - 8 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & 7 - λ & - 11 + 0 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere

$5$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 - λ & 5 & - 8 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & 7 - λ & - 11 + 0 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere

$- 8$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 - λ & 5 & - 8 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & 7 - λ & - 11 + 0 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.7

Addiere

$- 1$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 - λ & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 + 0 & 7 - λ & - 11 + 0 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.8

Addiere

$0$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 - λ & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 - λ & - 11 + 0 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.9

Addiere

$- 11$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 - λ & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 - λ & - 11 \\ 2 + 0 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.10

Addiere

$2$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 - λ & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 7 + 0 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.11

Addiere

$7$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 - λ & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 7 & 3 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.12

Addiere

$3$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 4 & 2 & - 2 \\ 1 & 5 - λ & 5 & - 8 \\ - 1 & 0 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 7 & 3 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.9

The minor for

$a_{42}$ is the determinant with row

$4$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.1.10

Multiply element

$a_{42}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 4 | \begin{array}{c} 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 4 | \begin{array}{c} 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$2$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 5.3.1.3

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 8 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.4

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 5 & - 8 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(7 - λ) | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.7

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 5.3.1.8

Multiply element

$a_{23}$ by its cofactor.

$11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 4 (1 | \begin{array}{c} 5 & - 8 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} | + (7 - λ) | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Berechne

$| \begin{array}{c} 5 & - 8 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 4 (1 (5 (- 3 - λ) - 3 \cdot - 8) + (7 - λ) | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (1 (5 \cdot - 3 + 5 (- λ) - 3 \cdot - 8) + (7 - λ) | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Mutltipliziere

$5$ mit

$- 3$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 15 + 5 (- λ) - 3 \cdot - 8) + (7 - λ) | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$5$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 15 - 5 λ - 3 \cdot - 8) + (7 - λ) | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.4

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$- 8$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 15 - 5 λ + 24) + (7 - λ) | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.2

Addiere

$- 15$ und

$24$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 5 λ + 9) + (7 - λ) | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.3

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 4 (1 (- 5 λ + 9) + (7 - λ) (1 (- 3 - λ) - 2 \cdot - 8) + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1

Mutltipliziere

$- 3 - λ$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 5 λ + 9) + (7 - λ) (- 3 - λ - 2 \cdot - 8) + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 8$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 5 λ + 9) + (7 - λ) (- 3 - λ + 16) + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.2

Addiere

$- 3$ und

$16$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 5 λ + 9) + (7 - λ) (- λ + 13) + 11 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 4 (1 (- 5 λ + 9) + (7 - λ) (- λ + 13) + 11 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 5)) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 5 λ + 9) + (7 - λ) (- λ + 13) + 11 (3 - 2 \cdot 5)) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$5$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 5 λ + 9) + (7 - λ) (- λ + 13) + 11 (3 - 10)) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.2

Subtrahiere

$10$ von

$3$ .

$p (λ) = 4 (1 (- 5 λ + 9) + (7 - λ) (- λ + 13) + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.5.1.1

Mutltipliziere

$- 5 λ + 9$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 + (7 - λ) (- λ + 13) + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.2

Multipliziere

$(7 - λ) (- λ + 13)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 + 7 (- λ + 13) - λ (- λ + 13) + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 + 7 (- λ) + 7 \cdot 13 - λ (- λ + 13) + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 + 7 (- λ) + 7 \cdot 13 - λ (- λ) - λ \cdot 13 + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1.3.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$7$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 7 λ + 7 \cdot 13 - λ (- λ) - λ \cdot 13 + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3.1.2

Mutltipliziere

$7$ mit

$13$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 7 λ + 91 - λ (- λ) - λ \cdot 13 + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 7 λ + 91 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - λ \cdot 13 + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3.1.4

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.1.3.1.4.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 7 λ + 91 - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - λ \cdot 13 + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3.1.4.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 7 λ + 91 - 1 \cdot - 1 λ^{2} - λ \cdot 13 + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3.1.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 7 λ + 91 + 1 λ^{2} - λ \cdot 13 + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3.1.6

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 7 λ + 91 + λ^{2} - λ \cdot 13 + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3.1.7

Mutltipliziere

$13$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 7 λ + 91 + λ^{2} - 13 λ + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3.2

Subtrahiere

$13 λ$ von

$- 7 λ$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 20 λ + 91 + λ^{2} + 11 \cdot - 7) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.4

Mutltipliziere

$11$ mit

$- 7$ .

$p (λ) = 4 (- 5 λ + 9 - 20 λ + 91 + λ^{2} - 77) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2

Subtrahiere

$20 λ$ von

$- 5 λ$ .

$p (λ) = 4 (- 25 λ + 9 + 91 + λ^{2} - 77) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.3

Addiere

$9$ und

$91$ .

$p (λ) = 4 (- 25 λ + 100 + λ^{2} - 77) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.4

Subtrahiere

$77$ von

$100$ .

$p (λ) = 4 (- 25 λ + λ^{2} + 23) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.5

Stelle

$- 25 λ$ und

$λ^{2}$ um.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} | + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \\ 2 & 3 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 5.4.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & - 11 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & - 11 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 5.4.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |$

Schritt 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & - 11 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2

Berechne

$| \begin{array}{c} 7 - λ & - 11 \\ 3 & - 3 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) ((7 - λ) (- 3 - λ) - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1.1

Multipliziere

$(7 - λ) (- 3 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (7 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (7 \cdot - 3 + 7 (- λ) - λ (- 3 - λ) - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (7 \cdot - 3 + 7 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere

$7$ mit

$- 3$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 + 7 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$7$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 - 7 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 - 7 λ + 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 - 7 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2.1.5

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1.2.1.5.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 - 7 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 - 7 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 - 7 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 - 7 λ + 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2.2

Addiere

$- 7 λ$ und

$3 λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.3

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$- 11$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 21 - 4 λ + λ^{2} + 33) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.2

Addiere

$- 21$ und

$33$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 12) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.3

Stelle

$- 4 λ$ und

$λ^{2}$ um.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.3

Berechne

$| \begin{array}{c} - 1 & - 11 \\ 2 & - 3 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (- (- 3 - λ) - 2 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (- - 3 - - λ - 2 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 3$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (3 - - λ - 2 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.3

Multipliziere

$- - λ$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (3 + 1 λ - 2 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.3.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (3 + λ - 2 \cdot - 11) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.4

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 11$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (3 + λ + 22) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.2

Addiere

$3$ und

$22$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (λ + 25) - 2 | \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.4

Berechne

$| \begin{array}{c} - 1 & 7 - λ \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (λ + 25) - 2 (- 1 \cdot 3 - 2 (7 - λ))) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (λ + 25) - 2 (- 3 - 2 (7 - λ))) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (λ + 25) - 2 (- 3 - 2 \cdot 7 - 2 (- λ))) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.1.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$7$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (λ + 25) - 2 (- 3 - 14 - 2 (- λ))) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 2$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (λ + 25) - 2 (- 3 - 14 + 2 λ)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.2

Subtrahiere

$14$ von

$- 3$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (λ + 25) - 2 (- 17 + 2 λ)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.3

Stelle

$- 17$ und

$2 λ$ um.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) ((- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12) - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1.1

Multipliziere

$(- 2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 12)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} - 2 (- 4 λ) - 2 \cdot 12 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 2$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 2 \cdot 12 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$12$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.3

Multipliziere

$λ$ mit

$λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1.2.3.1

Bewege

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.3.2

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$λ$ .

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Schritt 5.4.5.1.2.3.2.1

Potenziere

$λ$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.3.3

Addiere

$2$ und

$1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.5

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1.2.5.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.5.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 4$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 12 - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2.7

Mutltipliziere

$12$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- 2 λ^{2} + 8 λ - 24 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 12 λ - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.3

Addiere

$- 2 λ^{2}$ und

$4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} + 8 λ - 24 - λ^{3} - 12 λ - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.4

Subtrahiere

$12 λ$ von

$8 λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - 24 - λ^{3} - 2 (λ + 25) - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - 24 - λ^{3} - 2 λ - 2 \cdot 25 - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.6

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$25$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - 24 - λ^{3} - 2 λ - 50 - 2 (2 λ - 17)) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - 24 - λ^{3} - 2 λ - 50 - 2 (2 λ) - 2 \cdot - 17) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 2$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - 24 - λ^{3} - 2 λ - 50 - 4 λ - 2 \cdot - 17) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.9

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 17$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ - 24 - λ^{3} - 2 λ - 50 - 4 λ + 34) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2

Subtrahiere

$2 λ$ von

$- 4 λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ - 24 - λ^{3} - 50 - 4 λ + 34) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.3

Subtrahiere

$4 λ$ von

$- 6 λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 10 λ - 24 - λ^{3} - 50 + 34) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.4

Subtrahiere

$50$ von

$- 24$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 10 λ - λ^{3} - 74 + 34) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.5

Addiere

$- 74$ und

$34$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - 10 λ - λ^{3} - 40) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.6

Bewege

$- 10 λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (2 λ^{2} - λ^{3} - 10 λ - 40) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.7

Stelle

$2 λ^{2}$ und

$- λ^{3}$ um.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.5

Berechne

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & 5 & - 8 \\ - 1 & 7 - λ & - 11 \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 5.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 8 \\ 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} 5 & - 8 \\ 7 - λ & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) | \begin{array}{c} 5 & - 8 \\ 7 - λ & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 5 & - 8 \\ 7 - λ & - 11 \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (5 \cdot - 11 - (7 - λ) \cdot - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 11$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 55 - (7 - λ) \cdot - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 55 + (- 1 \cdot 7 - - λ) \cdot - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 55 + (- 7 - - λ) \cdot - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.4

Multipliziere $- - λ$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 55 + (- 7 + 1 λ) \cdot - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 55 + (- 7 + λ) \cdot - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 55 - 7 \cdot - 8 + λ \cdot - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 8$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 55 + 56 + λ \cdot - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.7

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 55 + 56 - 8 λ) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.2

Addiere $- 55$ und $56$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (1 - 8 λ) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.3

Stelle $1$ und $- 8 λ$ um.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 8 \\ - 1 & - 11 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 (1 \cdot - 11 - - - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 (- 11 - - - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Multipliziere $- - - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 (- 11 - 1 \cdot 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 (- 11 - 8) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.2

Subtrahiere $8$ von $- 11$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 \cdot - 19 - 2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |)$

Schritt 5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 7 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 \cdot - 19 - 2 (1 (7 - λ) - (- 1 \cdot 5)))$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1.1

Mutltipliziere $7 - λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 \cdot - 19 - 2 (7 - λ - (- 1 \cdot 5)))$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 \cdot - 19 - 2 (7 - λ - - 5))$

Schritt 5.5.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 \cdot - 19 - 2 (7 - λ + 5))$

Schritt 5.5.4.2.2

Addiere $7$ und $5$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 ((- 2 - λ) (- 8 λ + 1) - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.5.1.1

Multipliziere $(- 2 - λ) (- 8 λ + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (- 2 (- 8 λ + 1) - λ (- 8 λ + 1) - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (- 2 (- 8 λ) - 2 \cdot 1 - λ (- 8 λ + 1) - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (- 2 (- 8 λ) - 2 \cdot 1 - λ (- 8 λ) - λ \cdot 1 - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.5.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (16 λ - 2 \cdot 1 - λ (- 8 λ) - λ \cdot 1 - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (16 λ - 2 - λ (- 8 λ) - λ \cdot 1 - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (16 λ - 2 - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot 1 - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.2.1.4

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.2.1.4.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (16 λ - 2 - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1 - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (16 λ - 2 - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot 1 - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (16 λ - 2 + 8 λ^{2} - λ \cdot 1 - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (16 λ - 2 + 8 λ^{2} - λ - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.2.2

Subtrahiere $λ$ von $16 λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (15 λ - 2 + 8 λ^{2} - 2 \cdot - 19 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 19$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (15 λ - 2 + 8 λ^{2} + 38 - 2 (- λ + 12))$

Schritt 5.5.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (15 λ - 2 + 8 λ^{2} + 38 - 2 (- λ) - 2 \cdot 12)$

Schritt 5.5.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (15 λ - 2 + 8 λ^{2} + 38 + 2 λ - 2 \cdot 12)$

Schritt 5.5.5.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (15 λ - 2 + 8 λ^{2} + 38 + 2 λ - 24)$

Schritt 5.5.5.2

Addiere $15 λ$ und $2 λ$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (17 λ - 2 + 8 λ^{2} + 38 - 24)$

Schritt 5.5.5.3

Addiere $- 2$ und $38$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (17 λ + 8 λ^{2} + 36 - 24)$

Schritt 5.5.5.4

Subtrahiere $24$ von $36$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (17 λ + 8 λ^{2} + 12)$

Schritt 5.5.5.5

Stelle $17 λ$ und $8 λ^{2}$ um.

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 0 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.6.1

Addiere $4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40)$ und $0$ .

$p (λ) = 4 (λ^{2} - 25 λ + 23) + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 25 λ) + 4 \cdot 23 + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 4 \cdot 23 + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $23$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 + (5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40) + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.3

Multipliziere $(5 - λ) (- λ^{3} + 2 λ^{2} - 10 λ - 40)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 + 5 (- λ^{3}) + 5 (2 λ^{2}) + 5 (- 10 λ) + 5 \cdot - 40 - λ (- λ^{3}) - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 5 (2 λ^{2}) + 5 (- 10 λ) + 5 \cdot - 40 - λ (- λ^{3}) - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} + 5 (- 10 λ) + 5 \cdot - 40 - λ (- λ^{3}) - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ + 5 \cdot - 40 - λ (- λ^{3}) - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 40$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 - λ (- λ^{3}) - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.6

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.4.6.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.6.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.4.6.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + 1 λ^{4} - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.8

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - λ (2 λ^{2}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.10

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.2.4.10.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 1 \cdot 2 (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.10.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.4.10.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 1 \cdot 2 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 1 \cdot 2 λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 1 \cdot 2 λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 2 λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 2 λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.13

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.2.4.13.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 2 λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.13.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 2 λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot - 40 + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.4.15

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 5 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} + 40 λ + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.5

Subtrahiere $2 λ^{3}$ von $- 5 λ^{3}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 7 λ^{3} + 10 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} + 10 λ^{2} + 40 λ + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.6

Addiere $10 λ^{2}$ und $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 7 λ^{3} + 20 λ^{2} - 50 λ - 200 + λ^{4} + 40 λ + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.7

Addiere $- 50 λ$ und $40 λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 7 λ^{3} + 20 λ^{2} - 10 λ - 200 + λ^{4} + 7 (8 λ^{2} + 17 λ + 12)$

Schritt 5.6.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 7 λ^{3} + 20 λ^{2} - 10 λ - 200 + λ^{4} + 7 (8 λ^{2}) + 7 (17 λ) + 7 \cdot 12$

Schritt 5.6.2.9

Vereinfache.

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Schritt 5.6.2.9.1

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 7 λ^{3} + 20 λ^{2} - 10 λ - 200 + λ^{4} + 56 λ^{2} + 7 (17 λ) + 7 \cdot 12$

Schritt 5.6.2.9.2

Mutltipliziere $17$ mit $7$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 7 λ^{3} + 20 λ^{2} - 10 λ - 200 + λ^{4} + 56 λ^{2} + 119 λ + 7 \cdot 12$

Schritt 5.6.2.9.3

Mutltipliziere $7$ mit $12$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 100 λ + 92 - 7 λ^{3} + 20 λ^{2} - 10 λ - 200 + λ^{4} + 56 λ^{2} + 119 λ + 84$

Schritt 5.6.3

Addiere $4 λ^{2}$ und $20 λ^{2}$ .

$p (λ) = 24 λ^{2} - 100 λ + 92 - 7 λ^{3} - 10 λ - 200 + λ^{4} + 56 λ^{2} + 119 λ + 84$

Schritt 5.6.4

Addiere $24 λ^{2}$ und $56 λ^{2}$ .

$p (λ) = 80 λ^{2} - 100 λ + 92 - 7 λ^{3} - 10 λ - 200 + λ^{4} + 119 λ + 84$

Schritt 5.6.5

Subtrahiere $10 λ$ von $- 100 λ$ .

$p (λ) = 80 λ^{2} - 110 λ + 92 - 7 λ^{3} - 200 + λ^{4} + 119 λ + 84$

Schritt 5.6.6

Addiere $- 110 λ$ und $119 λ$ .

$p (λ) = 80 λ^{2} + 9 λ + 92 - 7 λ^{3} - 200 + λ^{4} + 84$

Schritt 5.6.7

Subtrahiere $200$ von $92$ .

$p (λ) = 80 λ^{2} + 9 λ - 7 λ^{3} - 108 + λ^{4} + 84$

Schritt 5.6.8

Addiere $- 108$ und $84$ .

$p (λ) = 80 λ^{2} + 9 λ - 7 λ^{3} + λ^{4} - 24$

Schritt 5.6.9

Bewege $9 λ$ .

$p (λ) = 80 λ^{2} - 7 λ^{3} + λ^{4} + 9 λ - 24$

Schritt 5.6.10

Bewege $80 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + λ^{4} + 80 λ^{2} + 9 λ - 24$

Schritt 5.6.11

Stelle $- 7 λ^{3}$ und $λ^{4}$ um.

$p (λ) = λ^{4} - 7 λ^{3} + 80 λ^{2} + 9 λ - 24$