Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $4$ ist die $4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{4}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.12.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.13.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.14.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.15.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 19 & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

Schritt 4.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 + 0 & 30 + 0 & 5 + 0 \\ - 23 + 0 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $25$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 + 0 & 5 + 0 \\ - 23 + 0 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $30$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 + 0 \\ - 23 + 0 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 + 0 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $- 23$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 + 0 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $- 35$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 + 0 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $- 5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 + 0 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.7

Addiere $7$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 + 0 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.8

Addiere $9$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.9

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 \\ - 3 + 0 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.10

Addiere $- 3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 4 + 0 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.11

Addiere $- 4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.12

Addiere $- 5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 19 - λ & 25 & 30 & 5 \\ - 23 & - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 7 & 9 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 9 & 10 - λ & 1 \\ - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(19 - λ) | \begin{array}{c} - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 9 & 10 - λ & 1 \\ - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) | \begin{array}{c} - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 9 & 10 - λ & 1 \\ - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2

Berechne $| \begin{array}{c} - 30 - λ & - 35 & - 5 \\ 9 & 10 - λ & 1 \\ - 4 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 10 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 30 - λ) | \begin{array}{c} 10 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) | \begin{array}{c} 10 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 10 - λ & 1 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) ((10 - λ) (- 1 - λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Multipliziere $(10 - λ) (- 1 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (10 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (10 \cdot - 1 + 10 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (10 \cdot - 1 + 10 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 + 10 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.3

Multipliziere $- λ \cdot - 1$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ - λ (- λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ + 1 λ^{2} - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 10 λ + λ + λ^{2} - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.2

Addiere $- 10 λ$ und $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 9 λ + λ^{2} - (- 5 \cdot 1)) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.3

Multipliziere $- (- 5 \cdot 1)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 9 λ + λ^{2} - - 5) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 10 - 9 λ + λ^{2} + 5) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.2

Addiere $- 10$ und $5$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (- 9 λ + λ^{2} - 5) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.3

Stelle $- 9 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (9 (- 1 - λ) - (- 4 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (9 \cdot - 1 + 9 (- λ) - (- 4 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 + 9 (- λ) - (- 4 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 - 9 λ - (- 4 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.4

Multipliziere $- (- 4 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 - 9 λ - - 4) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 - 9 λ + 4) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $- 9$ und $4$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (9 \cdot - 5 - (- 4 (10 - λ)))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - (- 4 (10 - λ)))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - (- 4 \cdot 10 - 4 (- λ)))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - (- 40 - 4 (- λ)))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - (- 40 + 4 λ))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 - - 40 - (4 λ))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 40$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 + 40 - (4 λ))) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 45 + 40 - 4 λ)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $- 45$ und $40$ .

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 5 - 4 λ)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.3

Stelle $- 5$ und $- 4 λ$ um.

$p (λ) = (19 - λ) ((- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5) + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1.1

Multipliziere $(- 30 - λ) (λ^{2} - 9 λ - 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} - 30 (- 9 λ) - 30 \cdot - 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ - 30 \cdot - 5 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 30$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.5.1.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.2.5.1.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.5.1.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot - 5 + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 30 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} + 9 λ^{2} + 5 λ + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.3

Addiere $- 30 λ^{2}$ und $9 λ^{2}$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 270 λ + 150 - λ^{3} + 5 λ + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.4

Addiere $270 λ$ und $5 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} + 35 (- 9 λ - 5) - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} + 35 (- 9 λ) + 35 \cdot - 5 - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ + 35 \cdot - 5 - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.7

Mutltipliziere $35$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ - 175 - 5 (- 4 λ - 5)) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ - 175 - 5 (- 4 λ) - 5 \cdot - 5) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ - 175 + 20 λ - 5 \cdot - 5) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.10

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} + 275 λ + 150 - λ^{3} - 315 λ - 175 + 20 λ + 25) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $315 λ$ von $275 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 40 λ + 150 - λ^{3} - 175 + 20 λ + 25) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.3

Addiere $- 40 λ$ und $20 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 20 λ + 150 - λ^{3} - 175 + 25) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.4

Subtrahiere $175$ von $150$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} - 25 + 25) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} - 25 + 25$ .

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Schritt 5.2.5.5.1

Addiere $- 25$ und $25$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} + 0) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.5.2

Addiere $- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3}$ und $0$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - 20 λ - λ^{3}) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.6

Bewege $- 20 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- 21 λ^{2} - λ^{3} - 20 λ) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.7

Stelle $- 21 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} | + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 23 & - 35 & - 5 \\ 7 & 10 - λ & 1 \\ - 3 & - 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.3.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 35 & - 5 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 7 | \begin{array}{c} - 35 & - 5 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 | \begin{array}{c} - 35 & - 5 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} | + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Berechne $| \begin{array}{c} - 35 & - 5 \\ - 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (- 35 (- 1 - λ) - (- 5 \cdot - 5)) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (- 35 \cdot - 1 - 35 (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 35$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 - 35 (- λ) - (- 5 \cdot - 5)) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 + 35 λ - (- 5 \cdot - 5)) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.4

Multipliziere $- (- 5 \cdot - 5)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 + 35 λ - 1 \cdot 25) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 + 35 λ - 25) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.2

Subtrahiere $25$ von $35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) | \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 23 & - 5 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (- 23 (- 1 - λ) - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (- 23 \cdot - 1 - 23 (- λ) - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 23$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 - 23 (- λ) - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 + 23 λ - (- 3 \cdot - 5)) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Multipliziere $- (- 3 \cdot - 5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 + 23 λ - 1 \cdot 15) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 + 23 λ - 15) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.2

Subtrahiere $15$ von $23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 | \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 23 & - 35 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 (- 23 \cdot - 5 - (- 3 \cdot - 35))) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 23$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 (115 - (- 3 \cdot - 35))) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot - 35)$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 (115 - 1 \cdot 105)) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $105$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 (115 - 105)) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.2

Subtrahiere $105$ von $115$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ + 10) + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 7 (35 λ) - 7 \cdot 10 + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.2

Mutltipliziere $35$ mit $- 7$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 7 \cdot 10 + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + (10 - λ) (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.4

Multipliziere $(10 - λ) (23 λ + 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 10 (23 λ + 8) - λ (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 10 (23 λ) + 10 \cdot 8 - λ (23 λ + 8) - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 10 (23 λ) + 10 \cdot 8 - λ (23 λ) - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.5.1.5.1.1

Mutltipliziere $23$ mit $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 10 \cdot 8 - λ (23 λ) - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $8$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - λ (23 λ) - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 1 \cdot 23 λ \cdot λ - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5.1.4

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.5.1.5.1.4.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 1 \cdot 23 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 1 \cdot 23 λ^{2} - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 23 λ^{2} - λ \cdot 8 - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 230 λ + 80 - 23 λ^{2} - 8 λ - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5.2

Subtrahiere $8 λ$ von $230 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 222 λ + 80 - 23 λ^{2} - 1 \cdot 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 245 λ - 70 + 222 λ + 80 - 23 λ^{2} - 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $- 245 λ$ und $222 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ - 70 + 80 - 23 λ^{2} - 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.3

Addiere $- 70$ und $80$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ + 10 - 23 λ^{2} - 10) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 23 λ + 10 - 23 λ^{2} - 10$ .

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Schritt 5.3.5.4.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ - 23 λ^{2} + 0) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.4.2

Addiere $- 23 λ - 23 λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ - 23 λ^{2}) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.5

Stelle $- 23 λ$ und $- 23 λ^{2}$ um.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 5 \\ 7 & 9 & 1 \\ - 3 & - 4 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 23 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 | \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} | - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.2

Berechne $| \begin{array}{c} 9 & 1 \\ - 4 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (9 (- 1 - λ) - (- 4 \cdot 1)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (9 \cdot - 1 + 9 (- λ) - (- 4 \cdot 1)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 + 9 (- λ) - (- 4 \cdot 1)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 - 9 λ - (- 4 \cdot 1)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.4

Multipliziere $- (- 4 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 - 9 λ - - 4) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 - 9 λ + 4) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.2

Addiere $- 9$ und $4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.3

Berechne $| \begin{array}{c} 7 & 1 \\ - 3 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (7 (- 1 - λ) - (- 3 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (7 \cdot - 1 + 7 (- λ) - (- 3 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 + 7 (- λ) - (- 3 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 - 7 λ - (- 3 \cdot 1)) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.4

Multipliziere $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 - 7 λ - - 3) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 - 7 λ + 3) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.2

Addiere $- 7$ und $3$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.4

Berechne $| \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 (7 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 9))) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 (- 28 - (- 3 \cdot 9))) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 9)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 (- 28 - - 27)) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 (- 28 + 27)) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.2

Addiere $- 28$ und $27$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 23 (- 9 λ) - 23 \cdot - 5 - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ - 23 \cdot - 5 - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.3

Mutltipliziere $- 23$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - (- 30 - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + (- - 30 - - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + (30 - - λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.6

Multipliziere $- - λ$ .

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Schritt 5.4.5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + (30 + 1 λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + (30 + λ) (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.7

Multipliziere $(30 + λ) (- 7 λ - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + 30 (- 7 λ - 4) + λ (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + 30 (- 7 λ) + 30 \cdot - 4 + λ (- 7 λ - 4) - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 + 30 (- 7 λ) + 30 \cdot - 4 + λ (- 7 λ) + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.5.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.5.1.8.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ + 30 \cdot - 4 + λ (- 7 λ) + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 + λ (- 7 λ) + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 - 7 λ \cdot λ + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8.1.4

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.5.1.8.1.4.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 - 7 (λ \cdot λ) + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 - 7 λ^{2} + λ \cdot - 4 - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8.1.5

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 210 λ - 120 - 7 λ^{2} - 4 λ - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8.2

Subtrahiere $4 λ$ von $- 210 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 214 λ - 120 - 7 λ^{2} - 5 \cdot - 1) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (207 λ + 115 - 214 λ - 120 - 7 λ^{2} + 5) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2

Subtrahiere $214 λ$ von $207 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ + 115 - 120 - 7 λ^{2} + 5) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.3

Subtrahiere $120$ von $115$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ - 5 - 7 λ^{2} + 5) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 7 λ - 5 - 7 λ^{2} + 5$ .

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Schritt 5.4.5.4.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ - 7 λ^{2} + 0) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.4.2

Addiere $- 7 λ - 7 λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ - 7 λ^{2}) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.5

Stelle $- 7 λ$ und $- 7 λ^{2}$ um.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 | \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.5

Berechne $| \begin{array}{c} - 23 & - 30 - λ & - 35 \\ 7 & 9 & 10 - λ \\ - 3 & - 4 & - 5 \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 23 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 | \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} | - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 9 & 10 - λ \\ - 4 & - 5 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (9 \cdot - 5 - (- 4 (10 - λ))) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - (- 4 (10 - λ))) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - (- 4 \cdot 10 - 4 (- λ))) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - (- 40 - 4 (- λ))) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - (- 40 + 4 λ)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 - - 40 - (4 λ)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 40$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 + 40 - (4 λ)) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 45 + 40 - 4 λ) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.2

Addiere $- 45$ und $40$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 5 - 4 λ) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.3

Stelle $- 5$ und $- 4 λ$ um.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) | \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 7 & 10 - λ \\ - 3 & - 5 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (7 \cdot - 5 - (- 3 (10 - λ))) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - (- 3 (10 - λ))) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - (- 3 \cdot 10 - 3 (- λ))) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - (- 30 - 3 (- λ))) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - (- 30 + 3 λ)) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 - - 30 - (3 λ)) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 + 30 - (3 λ)) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 35 + 30 - 3 λ) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.2

Addiere $- 35$ und $30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 5 - 3 λ) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.3

Stelle $- 5$ und $- 3 λ$ um.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 | \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 7 & 9 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 (7 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 9)))$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 (- 28 - (- 3 \cdot 9)))$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 9)$ .

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Schritt 5.5.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 (- 28 - - 27))$

Schritt 5.5.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 (- 28 + 27))$

Schritt 5.5.4.2.2

Addiere $- 28$ und $27$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ - 5) - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 23 (- 4 λ) - 23 \cdot - 5 - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 23$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ - 23 \cdot - 5 - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.3

Mutltipliziere $- 23$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - (- 30 - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + (- - 30 - - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + (30 - - λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.6

Multipliziere $- - λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + (30 + 1 λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + (30 + λ) (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.7

Multipliziere $(30 + λ) (- 3 λ - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + 30 (- 3 λ - 5) + λ (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + 30 (- 3 λ) + 30 \cdot - 5 + λ (- 3 λ - 5) - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 + 30 (- 3 λ) + 30 \cdot - 5 + λ (- 3 λ) + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.8.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $30$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ + 30 \cdot - 5 + λ (- 3 λ) + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.8.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $- 5$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 + λ (- 3 λ) + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.8.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 - 3 λ \cdot λ + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.8.1.4

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.8.1.4.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 - 3 (λ \cdot λ) + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 - 3 λ^{2} + λ \cdot - 5 - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.8.1.5

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 90 λ - 150 - 3 λ^{2} - 5 λ - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.8.2

Subtrahiere $5 λ$ von $- 90 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 95 λ - 150 - 3 λ^{2} - 35 \cdot - 1)$

Schritt 5.5.5.1.9

Mutltipliziere $- 35$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (92 λ + 115 - 95 λ - 150 - 3 λ^{2} + 35)$

Schritt 5.5.5.2

Subtrahiere $95 λ$ von $92 λ$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ + 115 - 150 - 3 λ^{2} + 35)$

Schritt 5.5.5.3

Subtrahiere $150$ von $115$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ - 35 - 3 λ^{2} + 35)$

Schritt 5.5.5.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 λ - 35 - 3 λ^{2} + 35$ .

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Schritt 5.5.5.4.1

Addiere $- 35$ und $35$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ - 3 λ^{2} + 0)$

Schritt 5.5.5.4.2

Addiere $- 3 λ - 3 λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ - 3 λ^{2})$

Schritt 5.5.5.5

Stelle $- 3 λ$ und $- 3 λ^{2}$ um.

$p (λ) = (19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1.1

Multipliziere $(19 - λ) (- λ^{3} - 21 λ^{2} - 20 λ)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 19 (- λ^{3}) + 19 (- 21 λ^{2}) + 19 (- 20 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $19$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 19 (- 21 λ^{2}) + 19 (- 20 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 21$ mit $19$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} + 19 (- 20 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $19$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - λ (- λ^{3}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.1.2.5.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.2.5.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.5.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + 1 λ^{4} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.7

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - λ (- 21 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 λ \cdot λ^{2} - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.9

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.1.2.9.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 (λ^{2} λ) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.9.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.2.9.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 λ^{2 + 1} - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 1 \cdot - 21 λ^{3} - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 21$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} - λ (- 20 λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} - 1 \cdot - 20 λ \cdot λ - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.12

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.2.12.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} - 1 \cdot - 20 (λ \cdot λ) - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.12.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} - 1 \cdot - 20 λ^{2} - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 21 λ^{3} + 20 λ^{2} - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.3

Addiere $- 19 λ^{3}$ und $21 λ^{3}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 399 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 20 λ^{2} - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.4

Addiere $- 399 λ^{2}$ und $20 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 25 (- 23 λ^{2} - 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} - 25 (- 23 λ^{2}) - 25 (- 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.6

Mutltipliziere $- 23$ mit $- 25$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} - 25 (- 23 λ) + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.7

Mutltipliziere $- 23$ mit $- 25$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ + 30 (- 7 λ^{2} - 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ + 30 (- 7 λ^{2}) + 30 (- 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.9

Mutltipliziere $- 7$ mit $30$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} + 30 (- 7 λ) - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.10

Mutltipliziere $- 7$ mit $30$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ - 5 (- 3 λ^{2} - 3 λ)$

Schritt 5.6.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ - 5 (- 3 λ^{2}) - 5 (- 3 λ)$

Schritt 5.6.1.12

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ + 15 λ^{2} - 5 (- 3 λ)$

Schritt 5.6.1.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 379 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ^{2} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ + 15 λ^{2} + 15 λ$

Schritt 5.6.2

Addiere $- 379 λ^{2}$ und $575 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + 196 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ - 210 λ^{2} - 210 λ + 15 λ^{2} + 15 λ$

Schritt 5.6.3

Subtrahiere $210 λ^{2}$ von $196 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} - 14 λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ - 210 λ + 15 λ^{2} + 15 λ$

Schritt 5.6.4

Addiere $- 14 λ^{2}$ und $15 λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} - 380 λ + λ^{4} + 575 λ - 210 λ + 15 λ$

Schritt 5.6.5

Addiere $- 380 λ$ und $575 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} + 195 λ - 210 λ + 15 λ$

Schritt 5.6.6

Subtrahiere $210 λ$ von $195 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - 15 λ + 15 λ$

Schritt 5.6.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - 15 λ + 15 λ$ .

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Schritt 5.6.7.1

Addiere $- 15 λ$ und $15 λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} + 0$

Schritt 5.6.7.2

Addiere $2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4}$ und $0$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4}$

Schritt 5.6.8

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{3} + λ^{4} + λ^{2}$

Schritt 5.6.9

Stelle $2 λ^{3}$ und $λ^{4}$ um.

$p (λ) = λ^{4} + 2 λ^{3} + λ^{2}$