Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 + 0 & 4 + 0 \\ 2 + 0 & 9 - λ & 11 + 0 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $22$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 + 0 \\ 2 + 0 & 9 - λ & 11 + 0 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 + 0 & 9 - λ & 11 + 0 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 & 9 - λ & 11 + 0 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $11$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 & 9 - λ & 11 \\ 4 + 0 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 & 9 - λ & 11 \\ 4 & 6 + 0 & 13 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $6$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 17 - λ & 22 & 4 \\ 2 & 9 - λ & 11 \\ 4 & 6 & 13 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 - λ & 11 \\ 6 & 13 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(17 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 11 \\ 6 & 13 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (17 - λ) | \begin{array}{c} 9 - λ & 11 \\ 6 & 13 - λ \end{array} | - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 9 - λ & 11 \\ 6 & 13 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (17 - λ) ((9 - λ) (13 - λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $(9 - λ) (13 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (17 - λ) (9 (13 - λ) - λ (13 - λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (17 - λ) (9 \cdot 13 + 9 (- λ) - λ (13 - λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (17 - λ) (9 \cdot 13 + 9 (- λ) - λ \cdot 13 - λ (- λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $13$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 + 9 (- λ) - λ \cdot 13 - λ (- λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - λ \cdot 13 - λ (- λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ - λ (- λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ + 1 λ^{2} - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 9 λ - 13 λ + λ^{2} - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Subtrahiere $13 λ$ von $- 9 λ$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 22 λ + λ^{2} - 6 \cdot 11) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $11$ .

$p (λ) = (17 - λ) (117 - 22 λ + λ^{2} - 66) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $66$ von $117$ .

$p (λ) = (17 - λ) (- 22 λ + λ^{2} + 51) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3

Stelle $- 22 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 | \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (2 (13 - λ) - 4 \cdot 11) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (2 \cdot 13 + 2 (- λ) - 4 \cdot 11) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (26 + 2 (- λ) - 4 \cdot 11) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (26 - 2 λ - 4 \cdot 11) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $11$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (26 - 2 λ - 44) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $44$ von $26$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 | \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 9 - λ \\ 4 & 6 \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (2 \cdot 6 - 4 (9 - λ))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (12 - 4 (9 - λ))$

Schritt 5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (12 - 4 \cdot 9 - 4 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (12 - 36 - 4 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (12 - 36 + 4 λ)$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $12$ .

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (- 24 + 4 λ)$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $- 24$ und $4 λ$ um.

$p (λ) = (17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51) - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Multipliziere $(17 - λ) (λ^{2} - 22 λ + 51)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 17 λ^{2} + 17 (- 22 λ) + 17 \cdot 51 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 22$ mit $17$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 17 \cdot 51 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $17$ mit $51$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - (λ^{2} λ) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.5.1.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{2 + 1} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - 1 \cdot - 22 λ \cdot λ - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - 1 \cdot - 22 (λ \cdot λ) - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - 1 \cdot - 22 λ^{2} - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 22$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} + 22 λ^{2} - λ \cdot 51 - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.2.7

Mutltipliziere $51$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 17 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} + 22 λ^{2} - 51 λ - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.3

Addiere $17 λ^{2}$ und $22 λ^{2}$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 374 λ + 867 - λ^{3} - 51 λ - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.4

Subtrahiere $51 λ$ von $- 374 λ$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} - 22 (- 2 λ - 18) + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} - 22 (- 2 λ) - 22 \cdot - 18 + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 22$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ - 22 \cdot - 18 + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.7

Mutltipliziere $- 22$ mit $- 18$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ + 396 + 4 (4 λ - 24)$

Schritt 5.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ + 396 + 4 (4 λ) + 4 \cdot - 24$

Schritt 5.5.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ + 396 + 16 λ + 4 \cdot - 24$

Schritt 5.5.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 24$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 425 λ + 867 - λ^{3} + 44 λ + 396 + 16 λ - 96$

Schritt 5.5.2

Addiere $- 425 λ$ und $44 λ$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 381 λ + 867 - λ^{3} + 396 + 16 λ - 96$

Schritt 5.5.3

Addiere $- 381 λ$ und $16 λ$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 365 λ + 867 - λ^{3} + 396 - 96$

Schritt 5.5.4

Addiere $867$ und $396$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 365 λ - λ^{3} + 1263 - 96$

Schritt 5.5.5

Subtrahiere $96$ von $1263$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - 365 λ - λ^{3} + 1167$

Schritt 5.5.6

Bewege $- 365 λ$ .

$p (λ) = 39 λ^{2} - λ^{3} - 365 λ + 1167$

Schritt 5.5.7

Stelle $39 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 39 λ^{2} - 365 λ + 1167$