Lineare Algebra Beispiele

Bestimme die Eigenvektoren/den Eigenraum [[0,4,10,0],[-1,4,5,0],[7,-14,2,0],[-12,24,6,2]]
Schritt 1
Bestimme die Eigenwerte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung zu ermitteln.
Schritt 1.2
Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe ist die Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.
Schritt 1.3
Setze die bekannten Werte in ein.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Ersetze durch .
Schritt 1.4
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.5
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.7
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.8
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.9
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.10
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.10.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.10.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.12
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.12.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.12.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.13
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.13.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.14
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.14.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.14.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.15
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.15.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.15.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 1.4.3
Simplify each element.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.3.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.4.3.2
Addiere und .
Schritt 1.4.3.3
Addiere und .
Schritt 1.4.3.4
Addiere und .
Schritt 1.4.3.5
Addiere und .
Schritt 1.4.3.6
Addiere und .
Schritt 1.4.3.7
Addiere und .
Schritt 1.4.3.8
Addiere und .
Schritt 1.4.3.9
Addiere und .
Schritt 1.4.3.10
Addiere und .
Schritt 1.4.3.11
Addiere und .
Schritt 1.4.3.12
Addiere und .
Schritt 1.4.3.13
Addiere und .
Schritt 1.5
Find the determinant.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Schritt 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Schritt 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.9
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.10
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.11
Add the terms together.
Schritt 1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Schritt 1.5.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Schritt 1.5.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.5.1.9
Add the terms together.
Schritt 1.5.5.2
Berechne .
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Schritt 1.5.5.2.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 1.5.5.2.2
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 1.5.5.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.5.5.2.2.1.1
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.2.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.2.2.1.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.2.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.2.2.1.2
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1.5.1
Bewege .
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.2.2.1.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5.2.2.1.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.2.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.2.2.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.2.2.2
Addiere und .
Schritt 1.5.5.2.2.3
Stelle und um.
Schritt 1.5.5.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.3.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 1.5.5.3.2
Vereinfache die Determinante.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.3.2.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.3.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.3.2.1.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.3.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.3.2.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.3.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.3.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.4.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 1.5.5.4.2
Vereinfache die Determinante.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.4.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.4.2.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.4.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.4.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5.4.2.3
Stelle und um.
Schritt 1.5.5.5
Vereinfache die Determinante.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.5.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.5.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.5.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.5.1.2.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.5.1.2.1.1
Bewege .
Schritt 1.5.5.5.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.5.1.2.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.5.5.5.1.2.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.5.5.5.1.2.1.3
Addiere und .
Schritt 1.5.5.5.1.2.2
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.5.5.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.5.1.3
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.5.1.3.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.5.1.3.1.1
Bewege .
Schritt 1.5.5.5.1.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.5.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.5.1.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.5.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.5.1.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.5.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.5.1.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5.5.3
Addiere und .
Schritt 1.5.5.5.4
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.6
Vereinfache die Determinante.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.6.1
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.6.1.1
Addiere und .
Schritt 1.5.6.1.2
Addiere und .
Schritt 1.5.6.1.3
Addiere und .
Schritt 1.5.6.2
Multipliziere aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.
Schritt 1.5.6.3
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.6.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.3.5
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.6.3.6
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.6.3.6.1
Bewege .
Schritt 1.5.6.3.6.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.6.3.6.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.5.6.3.6.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.5.6.3.6.3
Addiere und .
Schritt 1.5.6.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.3.9
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.6.3.10
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.6.3.10.1
Bewege .
Schritt 1.5.6.3.10.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.6.3.10.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.5.6.3.10.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.5.6.3.10.3
Addiere und .
Schritt 1.5.6.3.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.3.12
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.6.3.13
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.6.3.13.1
Bewege .
Schritt 1.5.6.3.13.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.3.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.3.15
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.6.4
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.6.5
Addiere und .
Schritt 1.5.6.6
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.6.7
Bewege .
Schritt 1.5.6.8
Bewege .
Schritt 1.5.6.9
Bewege .
Schritt 1.5.6.10
Stelle und um.
Schritt 1.6
Setze das charakteristische Polynom gleich , um die Eigenwerte zu ermitteln.
Schritt 1.7
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.1
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.1.1
Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.
Schritt 1.7.1.2
Faktorisiere mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.
Schritt 1.7.2
Setze gleich .
Schritt 1.7.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.7.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.7.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.3.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.7.3.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.7.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Schritt 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
Schritt 3.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 3.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.15
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.16
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 3.2.3
Simplify each element.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.3.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.3.2
Addiere und .
Schritt 3.2.3.3
Addiere und .
Schritt 3.2.3.4
Addiere und .
Schritt 3.2.3.5
Addiere und .
Schritt 3.2.3.6
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.3.7
Addiere und .
Schritt 3.2.3.8
Addiere und .
Schritt 3.2.3.9
Addiere und .
Schritt 3.2.3.10
Addiere und .
Schritt 3.2.3.11
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.3.12
Addiere und .
Schritt 3.2.3.13
Addiere und .
Schritt 3.2.3.14
Addiere und .
Schritt 3.2.3.15
Addiere und .
Schritt 3.2.3.16
Subtrahiere von .
Schritt 3.3
Find the null space when .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Schritt 3.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.1.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.2.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.3.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.4.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.5
Swap with to put a nonzero entry at .
Schritt 3.3.2.6
Multiply each element of by to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.6.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.6.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.7
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.7.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.7.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.8
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.8.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.8.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Schritt 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Schritt 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Schritt 3.3.6
Write as a solution set.
Schritt 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Schritt 4
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.