Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Subtrahiere $λ$ von $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $16$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $16$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & 16 - λ & 16 \\ 16 & 1 & - 16 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 16 \\ 16 & - 16 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 16 - λ \\ 16 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = - λ | \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 1.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 16 - λ & 16 \\ 1 & - 16 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = - λ ((16 - λ) (- 16 - λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Multipliziere $(16 - λ) (- 16 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - λ (16 (- 16 - λ) - λ (- 16 - λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - λ (16 \cdot - 16 + 16 (- λ) - λ (- 16 - λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - λ (16 \cdot - 16 + 16 (- λ) - λ \cdot - 16 - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 16$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + 16 (- λ) - λ \cdot - 16 - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ - λ \cdot - 16 - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ (- 256 - 16 λ + 16 λ + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.2

Addiere $- 16 λ$ und $16 λ$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + 0 + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.3

Addiere $- 256$ und $0$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + λ^{2} - 1 \cdot 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$p (λ) = - λ (- 256 + λ^{2} - 16) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $- 256$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 272) + 0 + 0$

Schritt 1.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- λ (λ^{2} - 272) + 0 + 0$ .

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Schritt 1.5.5.1.1

Addiere $- λ (λ^{2} - 272)$ und $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 272) + 0$

Schritt 1.5.5.1.2

Addiere $- λ (λ^{2} - 272)$ und $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} - 272)$

Schritt 1.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 272$

Schritt 1.5.5.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 272$

Schritt 1.5.5.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 1.5.5.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 272$

Schritt 1.5.5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 272$

Schritt 1.5.5.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ \cdot - 272$

Schritt 1.5.5.4

Mutltipliziere $- 272$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 272 λ$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 272 λ = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3} + 272 λ$ heraus.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3}$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} + 272 λ = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere $- λ$ aus $272 λ$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 272 = 0$

Schritt 1.7.1.3

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ (λ^{2}) - λ (- 272)$ heraus.

$- λ (λ^{2} - 272) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} - 272 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze $λ$ gleich $0$ .

$λ = 0$

Schritt 1.7.4

Setze $λ^{2} - 272$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze $λ^{2} - 272$ gleich $0$ .

$λ^{2} - 272 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Löse $λ^{2} - 272 = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.2.1

Addiere $272$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ^{2} = 272$

Schritt 1.7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{272}$

Schritt 1.7.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{272}$ .

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Schritt 1.7.4.2.3.1

Schreibe $272$ als $4^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 1.7.4.2.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $272$ heraus.

$λ = \pm \sqrt{16 (17)}$

Schritt 1.7.4.2.3.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$λ = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 17}$

Schritt 1.7.4.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$λ = \pm 4 \sqrt{17}$

Schritt 1.7.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.7.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$λ = 4 \sqrt{17}$

Schritt 1.7.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$λ = - 4 \sqrt{17}$

Schritt 1.7.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$λ = 4 \sqrt{17}, - 4 \sqrt{17}$

Schritt 1.7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- λ (λ^{2} - 272) = 0$ wahr machen.

$λ = 0, 4 \sqrt{17}, - 4 \sqrt{17}$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $0$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.8

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 0 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.5

Addiere $16$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.6

Addiere $16$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.7

Addiere $16$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.8

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.9

Addiere $- 16$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Swap $R_{3}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 1 & - 16 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{16}{16} & \frac{1}{16} & \frac{- 16}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{16} & - 1 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{16} & - 1 & 0 \\ \frac{0}{16} & \frac{16}{16} & \frac{16}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{16} & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{16} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{16} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{16} \cdot 0 & \frac{1}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{16} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{17}{16} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{17}{16} z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{17 z}{16} \\ - z \\ z \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4 \sqrt{17}$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] - 4 \sqrt{17} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $- 4 \sqrt{17}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Multipliziere $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Multipliziere $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \sqrt{17} \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Multipliziere $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.6

Multipliziere $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.7

Multipliziere $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.8

Multipliziere $- 4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{17} & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 0 - 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $4 \sqrt{17}$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Addiere $16$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Addiere $16$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = 4 \sqrt{17}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 \sqrt{17} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 \sqrt{17}}{- 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{- 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{- 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{- 4 \sqrt{17}} \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 - 16 \cdot 1 & 1 - 16 \cdot 0 & - 16 - 4 \sqrt{17} - 16 \cdot 0 & 0 - 16 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 - 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 - 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{16 - 4 \sqrt{17}} & \frac{16 - 4 \sqrt{17}}{16 - 4 \sqrt{17}} & \frac{16}{16 - 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{16 - 4 \sqrt{17}} \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} - (- 16 - 4 \sqrt{17}) & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 - 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y + (- 16 - 4 \sqrt{17}) z = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 16 z + 4 \sqrt{17} z \\ z \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 4 \sqrt{17}$ .

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Schritt 5.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + 4 \sqrt{17} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $4 \sqrt{17}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.2

Multipliziere $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.3

Multipliziere $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Schritt 5.2.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \sqrt{17} \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.4

Multipliziere $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Schritt 5.2.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.6

Multipliziere $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Schritt 5.2.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \sqrt{17} \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.7

Multipliziere $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Schritt 5.2.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.8

Multipliziere $4 \sqrt{17} \cdot 0$ .

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Schritt 5.2.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{17} & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 4 \sqrt{17} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 16 \\ 16 & 1 & - 16 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 0 + 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 5.2.3

Simplify each element.

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $0$ und $4 \sqrt{17}$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 + 0 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.5

Addiere $16$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 + 0 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $16$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 + 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} \end{array}]$

Schritt 5.3

Find the null space when $λ = - 4 \sqrt{17}$ .

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Schritt 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 \sqrt{17} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 \sqrt{17}}{4 \sqrt{17}} & \frac{0}{4 \sqrt{17}} & \frac{0}{4 \sqrt{17}} & \frac{0}{4 \sqrt{17}} \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 16 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 16 - 16 \cdot 1 & 1 - 16 \cdot 0 & - 16 + 4 \sqrt{17} - 16 \cdot 0 & 0 - 16 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 16 + 4 \sqrt{17} & 16 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 + 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16 + 4 \sqrt{17}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{16 + 4 \sqrt{17}} & \frac{16 + 4 \sqrt{17}}{16 + 4 \sqrt{17}} & \frac{16}{16 + 4 \sqrt{17}} & \frac{0}{16 + 4 \sqrt{17}} \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} - (- 16 + 4 \sqrt{17}) & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 16 + 4 \sqrt{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y + (- 16 + 4 \sqrt{17}) z = 0$

$0 = 0$

Schritt 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 16 z - 4 \sqrt{17} z \\ z \end{array}]$

Schritt 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{17}{16} \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 16 + 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 16 - 4 \sqrt{17} \\ 1 \end{array}]}$