Gib eine Aufgabe ein ...
Lineare Algebra Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung zu ermitteln.
Schritt 1.2
Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe ist die Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.
Schritt 1.3
Setze die bekannten Werte in ein.
Schritt 1.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Ersetze durch .
Schritt 1.4
Vereinfache.
Schritt 1.4.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.4.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Schritt 1.4.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Multipliziere .
Schritt 1.4.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3
Multipliziere .
Schritt 1.4.1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4
Multipliziere .
Schritt 1.4.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.6
Multipliziere .
Schritt 1.4.1.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.7
Multipliziere .
Schritt 1.4.1.2.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.8
Multipliziere .
Schritt 1.4.1.2.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 1.4.3
Simplify each element.
Schritt 1.4.3.1
Addiere und .
Schritt 1.4.3.2
Addiere und .
Schritt 1.4.3.3
Addiere und .
Schritt 1.4.3.4
Addiere und .
Schritt 1.4.3.5
Addiere und .
Schritt 1.4.3.6
Addiere und .
Schritt 1.5
Find the determinant.
Schritt 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Schritt 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Schritt 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Schritt 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.9
Add the terms together.
Schritt 1.5.2
Berechne .
Schritt 1.5.2.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 1.5.2.2
Vereinfache die Determinante.
Schritt 1.5.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.5.2.2.1.1
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 1.5.2.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.2.2.1.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.2.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.2.2.1.2
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 1.5.2.2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.5.2.2.1.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.2.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.2.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.2.1.2.1.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5.1
Bewege .
Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.2.1.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.2.1.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.2.1.2.2
Addiere und .
Schritt 1.5.2.2.1.3
Multipliziere .
Schritt 1.5.2.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.2.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.2.2
Addiere und .
Schritt 1.5.2.2.3
Stelle und um.
Schritt 1.5.3
Berechne .
Schritt 1.5.3.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 1.5.3.2
Vereinfache die Determinante.
Schritt 1.5.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.5.3.2.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.3.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.3.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.3.2.1.4
Multipliziere .
Schritt 1.5.3.2.1.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.3.2.1.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.3.2.2
Addiere und .
Schritt 1.5.4
Berechne .
Schritt 1.5.4.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 1.5.4.2
Vereinfache die Determinante.
Schritt 1.5.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.5.4.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.4.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.4.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.4.2.3
Stelle und um.
Schritt 1.5.5
Vereinfache die Determinante.
Schritt 1.5.5.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.5.5.1.1
Multipliziere aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.
Schritt 1.5.5.1.2
Vereinfache jeden Term.
Schritt 1.5.5.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.1.2.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 1.5.5.1.2.3.1
Bewege .
Schritt 1.5.5.1.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.1.2.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.5.5.1.2.3.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.5.5.1.2.3.3
Addiere und .
Schritt 1.5.5.1.2.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.5.1.2.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 1.5.5.1.2.5.1
Bewege .
Schritt 1.5.5.1.2.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.1.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5.1.4
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5.1.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.1.8
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.1.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Schritt 1.5.5.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5.2.2
Addiere und .
Schritt 1.5.5.2.3
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5.2.4
Addiere und .
Schritt 1.5.5.3
Bewege .
Schritt 1.5.5.4
Bewege .
Schritt 1.5.5.5
Stelle und um.
Schritt 1.6
Setze das charakteristische Polynom gleich , um die Eigenwerte zu ermitteln.
Schritt 1.7
Löse nach auf.
Schritt 1.7.1
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
Schritt 1.7.1.1
Faktorisiere mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.
Schritt 1.7.1.1.1
Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form , wobei ein Teiler der Konstanten und ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.
Schritt 1.7.1.1.2
Ermittle jede Kombination von . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.
Schritt 1.7.1.1.3
Setze ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich , folglich ist eine Wurzel des Polynoms.
Schritt 1.7.1.1.3.1
Setze in das Polynom ein.
Schritt 1.7.1.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 1.7.1.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.1.1.3.4
Potenziere mit .
Schritt 1.7.1.1.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.1.1.3.6
Subtrahiere von .
Schritt 1.7.1.1.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.7.1.1.3.8
Subtrahiere von .
Schritt 1.7.1.1.3.9
Addiere und .
Schritt 1.7.1.1.4
Da eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.
Schritt 1.7.1.1.5
Dividiere durch .
Schritt 1.7.1.1.5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
- | - | - | - | + |
Schritt 1.7.1.1.5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | |||||||||||
- | - | - | - | + |
Schritt 1.7.1.1.5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | |||||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
- | + |
Schritt 1.7.1.1.5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | |||||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - |
Schritt 1.7.1.1.5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | |||||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- |
Schritt 1.7.1.1.5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
- | |||||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - |
Schritt 1.7.1.1.5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | - | ||||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - |
Schritt 1.7.1.1.5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | - | ||||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | + |
Schritt 1.7.1.1.5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | - | ||||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | - |
Schritt 1.7.1.1.5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | - | ||||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- |
Schritt 1.7.1.1.5.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
- | - | ||||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + |
Schritt 1.7.1.1.5.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
- | - | - | |||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + |
Schritt 1.7.1.1.5.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
- | - | - | |||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
- | + |
Schritt 1.7.1.1.5.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
- | - | - | |||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - |
Schritt 1.7.1.1.5.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
- | - | - | |||||||||
- | - | - | - | + | |||||||
+ | - | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
- | + | ||||||||||
+ | - | ||||||||||
Schritt 1.7.1.1.5.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 1.7.1.1.6
Schreibe als eine Menge von Faktoren.
Schritt 1.7.1.2
Faktorisiere durch Gruppieren.
Schritt 1.7.1.2.1
Faktorisiere durch Gruppieren.
Schritt 1.7.1.2.1.1
Für ein Polynom der Form schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich und deren Summe gleich ist.
Schritt 1.7.1.2.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.7.1.2.1.1.2
Schreibe um als plus
Schritt 1.7.1.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.7.1.2.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
Schritt 1.7.1.2.1.2.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 1.7.1.2.1.2.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 1.7.1.2.1.3
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 1.7.1.2.2
Entferne unnötige Klammern.
Schritt 1.7.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.7.3
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 1.7.3.1
Setze gleich .
Schritt 1.7.3.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.7.4
Setze gleich und löse nach auf.
Schritt 1.7.4.1
Setze gleich .
Schritt 1.7.4.2
Löse nach auf.
Schritt 1.7.4.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.7.4.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 1.7.4.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.7.4.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 1.7.4.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.7.4.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.7.4.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.7.4.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.7.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Schritt 3
Schritt 3.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
Schritt 3.2
Vereinfache.
Schritt 3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.2.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 3.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Schritt 3.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 3.2.3
Simplify each element.
Schritt 3.2.3.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.3.2
Addiere und .
Schritt 3.2.3.3
Addiere und .
Schritt 3.2.3.4
Addiere und .
Schritt 3.2.3.5
Subtrahiere von .
Schritt 3.2.3.6
Addiere und .
Schritt 3.2.3.7
Addiere und .
Schritt 3.2.3.8
Addiere und .
Schritt 3.2.3.9
Subtrahiere von .
Schritt 3.3
Find the null space when .
Schritt 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Schritt 3.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Schritt 3.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Schritt 3.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.2.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.3.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.4.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.5.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.6.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Schritt 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Schritt 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Schritt 3.3.6
Write as a solution set.
Schritt 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Schritt 4
Schritt 4.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
Schritt 4.2
Vereinfache.
Schritt 4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 4.2.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 4.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Schritt 4.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 4.2.3
Simplify each element.
Schritt 4.2.3.1
Addiere und .
Schritt 4.2.3.2
Addiere und .
Schritt 4.2.3.3
Addiere und .
Schritt 4.2.3.4
Addiere und .
Schritt 4.2.3.5
Addiere und .
Schritt 4.2.3.6
Addiere und .
Schritt 4.2.3.7
Addiere und .
Schritt 4.2.3.8
Addiere und .
Schritt 4.2.3.9
Addiere und .
Schritt 4.3
Find the null space when .
Schritt 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Schritt 4.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Schritt 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.1.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.2.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.3.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.4
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.4.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.4.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.5.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.6
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.6.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.6.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Schritt 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Schritt 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Schritt 4.3.6
Write as a solution set.
Schritt 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Schritt 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.