Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ - 2 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Multipliziere $(1 - λ) (4 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.2.2

Subtrahiere $4 λ$ von $- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.5.2.1.3

Multipliziere $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Schritt 1.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - - 2$

Schritt 1.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} + 2$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $4$ und $2$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} + 6$

Schritt 1.5.2.3

Stelle $- 5 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $λ^{2} - 5 λ + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.7.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 1.7.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ - 3 = 0$

$λ - 2 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze $λ - 3$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.3.1

Setze $λ - 3$ gleich $0$ .

$λ - 3 = 0$

Schritt 1.7.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 3$

Schritt 1.7.4

Setze $λ - 2$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze $λ - 2$ gleich $0$ .

$λ - 2 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 2$

Schritt 1.7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(λ - 3) (λ - 2) = 0$ wahr machen.

$λ = 3, 2$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $- 3$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - 3 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3

Simplify each element.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $- 2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.4

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $- 2$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 + 0 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 + 0 & 4 - 2 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $- 2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 4 - 2 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 2 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$