Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $4$ ist die $4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{4}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.12.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.13.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.14.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.15.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 + 0 & 0 + 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Addiere $- 4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 + 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $6$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $- 7$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.8

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.9

Addiere $8$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.11

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Schritt 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Schritt 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5

Berechne $| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) ((6 - λ) (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1.1

Multipliziere $(6 - λ) (3 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 (3 - λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 \cdot 3 + 6 (- λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 \cdot 3 + 6 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 + 6 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ + λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.2

Subtrahiere $3 λ$ von $- 6 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $8$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.2

Addiere $18 - 9 λ + λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.3

Bewege $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (- 9 λ + λ^{2} + 18) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.4

Stelle $- 9 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0 + 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.1

Addiere $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ und $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.1.2

Addiere $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ und $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.2

Multipliziere $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 9 λ) + 2 \cdot 18 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.3.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 2 \cdot 18 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.3.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.3.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.3.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.7

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} + 9 λ^{2} - 18 λ) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.4

Addiere $2 λ^{2}$ und $9 λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 18 λ) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.5

Subtrahiere $18 λ$ von $- 18 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.6

Bewege $36$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 36 λ - λ^{3} + 36) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.7

Bewege $- 36 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - λ^{3} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.8

Stelle $11 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.1

Addiere $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ und $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0$

Schritt 5.6.1.2

Addiere $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ und $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0$

Schritt 5.6.1.3

Addiere $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ und $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$

Schritt 5.6.2

Multipliziere $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 3 (- λ^{3}) + 3 (11 λ^{2}) + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 3 (11 λ^{2}) + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.2

Mutltipliziere $11$ mit $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.6

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.6.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.6.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.6.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.8

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ \cdot λ^{2} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.10

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.10.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.10.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.10.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{2 + 1} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{3} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 λ \cdot λ - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.13

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.13.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 (λ \cdot λ) - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.13.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 λ^{2} - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 36 λ^{2} - λ \cdot 36$

Schritt 5.6.3.15

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 36 λ^{2} - 36 λ$

Schritt 5.6.4

Subtrahiere $11 λ^{3}$ von $- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} + 36 λ^{2} - 36 λ$

Schritt 5.6.5

Addiere $33 λ^{2}$ und $36 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 36 λ$

Schritt 5.6.6

Subtrahiere $36 λ$ von $- 108 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108 + λ^{4}$

Schritt 5.6.7

Bewege $108$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + λ^{4} + 108$

Schritt 5.6.8

Bewege $- 144 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} + λ^{4} - 144 λ + 108$

Schritt 5.6.9

Bewege $69 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + λ^{4} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$

Schritt 5.6.10

Stelle $- 14 λ^{3}$ und $λ^{4}$ um.

$p (λ) = λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Faktorisiere $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

Schritt 7.1.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{4} - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Schritt 7.1.1.3.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Schritt 7.1.1.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$16 - 14 \cdot 8 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Schritt 7.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 14$ mit $8$ .

$16 - 112 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Schritt 7.1.1.3.5

Subtrahiere $112$ von $16$ .

$- 96 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Schritt 7.1.1.3.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 96 + 69 \cdot 4 - 144 \cdot 2 + 108$

Schritt 7.1.1.3.7

Mutltipliziere $69$ mit $4$ .

$- 96 + 276 - 144 \cdot 2 + 108$

Schritt 7.1.1.3.8

Addiere $- 96$ und $276$ .

$180 - 144 \cdot 2 + 108$

Schritt 7.1.1.3.9

Mutltipliziere $- 144$ mit $2$ .

$180 - 288 + 108$

Schritt 7.1.1.3.10

Subtrahiere $288$ von $180$ .

$- 108 + 108$

Schritt 7.1.1.3.11

Addiere $- 108$ und $108$ .

$0$

Schritt 7.1.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108}{λ - 2}$

Schritt 7.1.1.5

Dividiere $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ durch $λ - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

Schritt 7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $λ^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

Schritt 7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Schritt 7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $λ^{4} - 2 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Schritt 7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

Schritt 7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Schritt 7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Schritt 7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Schritt 7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 λ^{3} + 24 λ^{2}$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Schritt 7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

Schritt 7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

Schritt 7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $45 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

Schritt 7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Schritt 7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $45 λ^{2} - 90 λ$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Schritt 7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

Schritt 7.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

Schritt 7.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 54 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

Schritt 7.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

Schritt 7.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 54 λ + 108$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

Schritt 7.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

$0$

Schritt 7.1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$

Schritt 7.1.1.6

Schreibe $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 2) (λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

Schritt 7.1.2.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 \cdot 3 - 54$

Schritt 7.1.2.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 12 \cdot 3^{2} + 45 \cdot 3 - 54$

Schritt 7.1.2.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 12 \cdot 9 + 45 \cdot 3 - 54$

Schritt 7.1.2.3.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $9$ .

$27 - 108 + 45 \cdot 3 - 54$

Schritt 7.1.2.3.5

Subtrahiere $108$ von $27$ .

$- 81 + 45 \cdot 3 - 54$

Schritt 7.1.2.3.6

Mutltipliziere $45$ mit $3$ .

$- 81 + 135 - 54$

Schritt 7.1.2.3.7

Addiere $- 81$ und $135$ .

$54 - 54$

Schritt 7.1.2.3.8

Subtrahiere $54$ von $54$ .

$0$

Schritt 7.1.2.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54}{λ - 3}$

Schritt 7.1.2.5

Dividiere $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ durch $λ - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

Schritt 7.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$

Schritt 7.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Schritt 7.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $λ^{3} - 3 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Schritt 7.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$

Schritt 7.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$

Schritt 7.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$

Schritt 7.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					-	$9 λ^{2}$	+	$27 λ$

Schritt 7.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 λ^{2} + 27 λ$

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$

Schritt 7.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$

Schritt 7.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$

Schritt 7.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $18 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$

Schritt 7.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							+	$18 λ$	-	$54$

Schritt 7.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $18 λ - 54$

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							-	$18 λ$	+	$54$

Schritt 7.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							-	$18 λ$	+	$54$
										$0$

Schritt 7.1.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$λ^{2} - 9 λ + 18$

Schritt 7.1.2.6

Schreibe $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ^{2} - 9 λ + 18)) = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $λ^{2} - 9 λ + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $λ^{2} - 9 λ + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 6, - 3$

Schritt 7.1.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(λ - 2) ((λ - 3) ((λ - 6) (λ - 3))) = 0$

Schritt 7.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 6) (λ - 3)) = 0$

Schritt 7.1.4

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1.1

Potenziere $λ - 3$ mit $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 3) (λ - 6)) = 0$

Schritt 7.1.4.1.2

Potenziere $λ - 3$ mit $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 3) (λ - 6)) = 0$

Schritt 7.1.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(λ - 2) ({(λ - 3)}^{1 + 1} (λ - 6)) = 0$

Schritt 7.1.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(λ - 2) ({(λ - 3)}^{2} (λ - 6)) = 0$

Schritt 7.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ - 2) {(λ - 3)}^{2} (λ - 6) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ - 2 = 0$

${(λ - 3)}^{2} = 0$

$λ - 6 = 0$

Schritt 7.3

Setze $λ - 2$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Setze $λ - 2$ gleich $0$ .

$λ - 2 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 2$

Schritt 7.4

Setze ${(λ - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Setze ${(λ - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Schritt 7.4.2

Löse ${(λ - 3)}^{2} = 0$ nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1

Setze $λ - 3$ gleich $0$ .

$λ - 3 = 0$

Schritt 7.4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 3$

Schritt 7.5

Setze $λ - 6$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Setze $λ - 6$ gleich $0$ .

$λ - 6 = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 6$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(λ - 2) {(λ - 3)}^{2} (λ - 6) = 0$ wahr machen.

$λ = 2, 3, 6$