Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 23 & - 5 \\ 65 & - 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 + 0 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $- 5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 + 0 & - 7 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $65$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 23 - λ & - 5 \\ 65 & - 7 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (23 - λ) (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(23 - λ) (- 7 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 23 (- 7 - λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ (- 7 - λ) - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 23 \cdot - 7 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $23$ mit $- 7$ .

$p (λ) = - 161 + 23 (- λ) - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $23$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ - λ \cdot - 7 - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - λ (- λ) - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + 1 λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = - 161 - 23 λ + 7 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.2.2

Addiere $- 23 λ$ und $7 λ$ .

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} - 65 \cdot - 5$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 65$ mit $- 5$ .

$p (λ) = - 161 - 16 λ + λ^{2} + 325$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 161$ und $325$ .

$p (λ) = - 16 λ + λ^{2} + 164$

Schritt 5.2.3

Stelle $- 16 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} - 16 λ + 164$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 16 λ + 164 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 16$ und $c = 164$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 164)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 164$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $164$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 656}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.3

Subtrahiere $656$ von $256$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4

Schreibe $- 400$ als $- 1 (400)$ um.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (400)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}$ um.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{400}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.7

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$λ = \frac{16 \pm i \cdot \sqrt{20^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$λ = \frac{16 \pm i \cdot 20}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{16 \pm 20 i}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 20 i}{2}$ .

$λ = 8 \pm 10 i$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = 8 + 10 i, 8 - 10 i$