Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 6 & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 + 0 & 10 + 0 \\ 2 + 0 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $- 4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 + 0 \\ 2 + 0 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $10$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 + 0 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} + 0 \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $- \frac{10}{3}$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 6 + 0 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $6$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 + 0 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 6 - λ & - 4 & 10 \\ 2 & \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 6 & 4 & 10 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 6 - λ) | \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2

Berechne $| \begin{array}{c} \frac{4}{3} - λ & - \frac{10}{3} \\ 4 & 10 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 6 - λ) ((\frac{4}{3} - λ) (10 - λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $(\frac{4}{3} - λ) (10 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4}{3} (10 - λ) - λ (10 - λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4}{3} \cdot 10 + \frac{4}{3} (- λ) - λ (10 - λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4}{3} \cdot 10 + \frac{4}{3} (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot 10$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{4 \cdot 10}{3} + \frac{4}{3} (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} + \frac{4}{3} (- λ) - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - λ \cdot 10 - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - λ (- λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ + 1 λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Um $- 10 λ$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} - 10 λ \cdot \frac{3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Kombiniere $- 10 λ$ und $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} - \frac{4 λ}{3} + \frac{- 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40}{3} + \frac{- 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.6

Um $λ^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + λ^{2} \cdot \frac{3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.7

Kombiniere $λ^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3}{3} + \frac{λ^{2} \cdot 3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 10 λ \cdot 3 + λ^{2} \cdot 3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 30 λ + λ^{2} \cdot 3}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 4 λ - 30 λ + 3 \cdot λ^{2}}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.3

Subtrahiere $30 λ$ von $- 4 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{40 - 34 λ + 3 λ^{2}}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.3.4.1

Stelle die Terme um.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} - 34 λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.4.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 40 = 120$ und deren Summe gleich $b = - 34$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.3.4.2.1

Faktorisiere $- 34$ aus $- 34 λ$ heraus.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} - 34 (λ) + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.4.2.2

Schreibe $- 34$ um als $- 4$ plus $- 30$

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} + (- 4 - 30) λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{3 λ^{2} - 4 λ - 30 λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.4.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.3.4.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ^{2} - 4 λ) - 30 λ + 40}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{λ (3 λ - 4) - 10 (3 λ - 4)}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.4.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 λ - 4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} - 4 (- \frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.4

Multipliziere $- 4 (- \frac{10}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} + 4 (\frac{10}{3})) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{10}{3}$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} + \frac{4 \cdot 10}{3}) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (\frac{(3 λ - 4) (λ - 10)}{3} + \frac{40}{3}) + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 4) (λ - 10) + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.3.1

Multipliziere $(3 λ - 4) (λ - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ (λ - 10) - 4 (λ - 10) + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 10 - 4 (λ - 10) + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 10 - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.3.2.1.1

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.3.2.1.1.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 (λ \cdot λ) + 3 λ \cdot - 10 - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} + 3 λ \cdot - 10 - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $3$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 30 λ - 4 λ - 4 \cdot - 10 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 30 λ - 4 λ + 40 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3.2.2

Subtrahiere $4 λ$ von $- 30 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 34 λ + 40 + 40}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.4

Addiere $40$ und $40$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 34 λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 80 = 240$ und deren Summe gleich $b = - 34$ ist.

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Schritt 5.2.2.5.1.1

Faktorisiere $- 34$ aus $- 34 λ$ heraus.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 34 (λ) + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.5.1.2

Schreibe $- 34$ um als $- 10$ plus $- 24$

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} + (- 10 - 24) λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{3 λ^{2} - 10 λ - 24 λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ^{2} - 10 λ) - 24 λ + 80}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{λ (3 λ - 10) - 8 (3 λ - 10)}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 λ - 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 | \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} | + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & - \frac{10}{3} \\ 6 & 10 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (2 (10 - λ) - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (2 \cdot 10 + 2 (- λ) - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 + 2 (- λ) - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ - 6 (- \frac{10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10}{3}$ in den Zähler.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ - 6 (\frac{- 10}{3})) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ + 3 (- 2) \frac{- 10}{3}) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ + 3 \cdot - 2 \frac{- 10}{3}) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ - 2 \cdot - 10) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 10$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (20 - 2 λ + 20) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $20$ und $20$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 | \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & \frac{4}{3} - λ \\ 6 & 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (2 \cdot 4 - 6 (\frac{4}{3} - λ))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 6 (\frac{4}{3} - λ))$

Schritt 5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 6 (\frac{4}{3}) - 6 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 + 3 (- 2) \frac{4}{3} - 6 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 + 3 \cdot - 2 \frac{4}{3} - 6 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 2 \cdot 4 - 6 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 8 - 6 (- λ))$

Schritt 5.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (8 - 8 + 6 λ)$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (0 + 6 λ)$

Schritt 5.4.2.3

Addiere $0$ und $6 λ$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 6 \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$p (λ) = 3 (- 2) \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (λ) = 3 \cdot - 2 \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p (λ) = - 2 ((3 λ - 10) (λ - 8)) - λ \frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.3

Kombiniere $\frac{(3 λ - 10) (λ - 8)}{3}$ und $λ$ .

$p (λ) = - 2 ((3 λ - 10) (λ - 8)) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.4.1

Multipliziere $(3 λ - 10) (λ - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 2 (3 λ (λ - 8) - 10 (λ - 8)) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 2 (3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 8 - 10 (λ - 8)) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 2 (3 λ \cdot λ + 3 λ \cdot - 8 - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.4.2.1.1

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.4.2.1.1.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 2 (3 (λ \cdot λ) + 3 λ \cdot - 8 - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} + 3 λ \cdot - 8 - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} - 24 λ - 10 λ - 10 \cdot - 8) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 8$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} - 24 λ - 10 λ + 80) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.2.2

Subtrahiere $10 λ$ von $- 24 λ$ .

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2} - 34 λ + 80) - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 2 (3 λ^{2}) - 2 (- 34 λ) - 2 \cdot 80 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 2 (- 34 λ) - 2 \cdot 80 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.4.2

Mutltipliziere $- 34$ mit $- 2$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} + 68 λ - 2 \cdot 80 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.4.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $80$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} + 68 λ - 160 - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.5

Um $- 6 λ^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 - 6 λ^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.6

Kombiniere $- 6 λ^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{- 6 λ^{2} \cdot 3}{3} - \frac{(3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{- 6 λ^{2} \cdot 3 - (3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.8.1

Faktorisiere $λ$ aus $- 6 λ^{2} \cdot 3 - (3 λ - 10) (λ - 8) λ$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.8.1.1

Faktorisiere $λ$ aus $- 6 λ^{2} \cdot 3$ heraus.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 6 λ \cdot 3) - (3 λ - 10) (λ - 8) λ}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.1.2

Faktorisiere $λ$ aus $- (3 λ - 10) (λ - 8) λ$ heraus.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 6 λ \cdot 3) + λ (- (3 λ - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.1.3

Faktorisiere $λ$ aus $λ (- 6 λ \cdot 3) + λ (- (3 λ - 10) (λ - 8))$ heraus.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 6 λ \cdot 3 - (3 λ - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - (3 λ - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ + (- (3 λ) - - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ + (- 3 λ - - 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ + (- 3 λ + 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.6

Multipliziere $(- 3 λ + 10) (λ - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.8.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ (λ - 8) + 10 (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ \cdot λ - 3 λ \cdot - 8 + 10 (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ \cdot λ - 3 λ \cdot - 8 + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.8.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.8.7.1.1

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.8.7.1.1.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 (λ \cdot λ) - 3 λ \cdot - 8 + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.7.1.1.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} - 3 λ \cdot - 8 + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.7.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} + 24 λ + 10 λ + 10 \cdot - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.7.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 8$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} + 24 λ + 10 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.7.2

Addiere $24 λ$ und $10 λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 18 λ - 3 λ^{2} + 34 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.8.8

Addiere $- 18 λ$ und $34 λ$ .

$p (λ) = 68 λ - 160 + \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.9

Um $68 λ$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = 68 λ \cdot \frac{3}{3} + \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.10

Kombiniere $68 λ$ und $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{68 λ \cdot 3}{3} + \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = \frac{68 λ \cdot 3 + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.12

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.12.1

Faktorisiere $λ$ aus $68 λ \cdot 3 + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.12.1.1

Faktorisiere $λ$ aus $68 λ \cdot 3$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (68 \cdot 3) + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.12.1.2

Faktorisiere $λ$ aus $λ (68 \cdot 3) + λ (- 3 λ^{2} + 16 λ - 80)$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (68 \cdot 3 - 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.12.2

Mutltipliziere $68$ mit $3$ .

$p (λ) = \frac{λ (204 - 3 λ^{2} + 16 λ - 80)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.12.3

Subtrahiere $80$ von $204$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124)}{3} - 160 + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.13

Um $- 160$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124)}{3} - 160 \cdot \frac{3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.14

Kombiniere $- 160$ und $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124)}{3} + \frac{- 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 124) - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ) + λ \cdot 124 - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.16.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = \frac{- 3 λ \cdot λ^{2} + λ (16 λ) + λ \cdot 124 - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = \frac{- 3 λ \cdot λ^{2} + 16 λ \cdot λ + λ \cdot 124 - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.2.3

Bringe $124$ auf die linke Seite von $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ \cdot λ^{2} + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.16.3.1

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.16.3.1.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ^{2} λ) + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.3.1.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.5.1.16.3.1.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ^{2} λ^{1}) + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{2 + 1} + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ \cdot λ + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.3.2

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.16.3.2.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 (λ \cdot λ) + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.3.2.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 \cdot λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 160 \cdot 3}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.4

Mutltipliziere $- 160$ mit $3$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.5

Schreibe $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.5.1.16.5.1

Faktorisiere $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.5.1.16.5.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 480, \pm 2, \pm 240, \pm 3, \pm 160, \pm 4, \pm 120, \pm 5, \pm 96, \pm 6, \pm 80, \pm 8, \pm 60, \pm 10, \pm 48, \pm 12, \pm 40, \pm 15, \pm 32, \pm 16, \pm 30, \pm 20, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 5.5.1.16.5.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 480, \pm 160, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 240, \pm 80, \pm 3, \pm 53.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 120, \pm 40, \pm 5, \pm 1.\overline{6}, \pm 96, \pm 32, \pm 6, \pm 26.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 60, \pm 20, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 48, \pm 16, \pm 12, \pm 13.\overline{3}, \pm 15, \pm 10.\overline{6}, \pm 5.\overline{3}, \pm 30, \pm 6.\overline{6}, \pm 24$

Schritt 5.5.1.16.5.1.3

Setze $- 6$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 6$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.5.1.16.5.1.3.1

Setze $- 6$ in das Polynom ein.

$- 3 {(- 6)}^{3} + 16 {(- 6)}^{2} + 124 \cdot - 6 - 480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.3.2

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$- 3 \cdot - 216 + 16 {(- 6)}^{2} + 124 \cdot - 6 - 480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 216$ .

$648 + 16 {(- 6)}^{2} + 124 \cdot - 6 - 480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.3.4

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$648 + 16 \cdot 36 + 124 \cdot - 6 - 480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.3.5

Mutltipliziere $16$ mit $36$ .

$648 + 576 + 124 \cdot - 6 - 480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.3.6

Addiere $648$ und $576$ .

$1224 + 124 \cdot - 6 - 480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.3.7

Mutltipliziere $124$ mit $- 6$ .

$1224 - 744 - 480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.3.8

Subtrahiere $744$ von $1224$ .

$480 - 480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.3.9

Subtrahiere $480$ von $480$ .

$0$

Schritt 5.5.1.16.5.1.4

Da $- 6$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ + 6$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480}{λ + 6}$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5

Dividiere $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ durch $λ + 6$ .

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Schritt 5.5.1.16.5.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$6$

$3 λ^{3}$

$16 λ^{2}$

$124 λ$

$480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				-	$3 λ^{2}$
	$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			-	$3 λ^{3}$	-	$18 λ^{2}$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 λ^{3} - 18 λ^{2}$

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$3 λ^{2}$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $34 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					+	$34 λ^{2}$	+	$204 λ$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $34 λ^{2} + 204 λ$

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 80 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$
							-	$80 λ$	-	$480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 80 λ - 480$

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$
							+	$80 λ$	+	$480$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$3 λ^{2}$	+	$34 λ$	-	$80$
$λ$	+	$6$	-	$3 λ^{3}$	+	$16 λ^{2}$	+	$124 λ$	-	$480$
			+	$3 λ^{3}$	+	$18 λ^{2}$
					+	$34 λ^{2}$	+	$124 λ$
					-	$34 λ^{2}$	-	$204 λ$
							-	$80 λ$	-	$480$
							+	$80 λ$	+	$480$
										$0$

Schritt 5.5.1.16.5.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 3 λ^{2} + 34 λ - 80$

Schritt 5.5.1.16.5.1.6

Schreibe $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480$ als eine Menge von Faktoren.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + 34 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.5.1.16.5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot - 80 = 240$ und deren Summe gleich $b = 34$ ist.

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Schritt 5.5.1.16.5.2.1.1

Faktorisiere $34$ aus $34 λ$ heraus.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + 34 (λ) - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.5.2.1.2

Schreibe $34$ um als $10$ plus $24$

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + (10 + 24) λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ^{2} + 10 λ + 24 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.5.1.16.5.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) ((- 3 λ^{2} + 10 λ) + 24 λ - 80)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.5.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (λ (- 3 λ + 10) - 8 (- 3 λ + 10))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.16.5.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 λ + 10$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) ((- 3 λ + 10) (λ - 8))}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ + 40) + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.17

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} + 4 (- 2 λ) + 4 \cdot 40 + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.18

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ + 4 \cdot 40 + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.19

Mutltipliziere $4$ mit $40$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ + 160 + 10 (6 λ)$

Schritt 5.5.1.20

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.2

Um $- 8 λ$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} - 8 λ \cdot \frac{3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.3

Kombiniere $- 8 λ$ und $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8)}{3} + \frac{- 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = \frac{(λ + 6) (- 3 λ + 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.5.1

Multipliziere $(λ + 6) (- 3 λ + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = \frac{(λ (- 3 λ + 10) + 6 (- 3 λ + 10)) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = \frac{(λ (- 3 λ) + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ + 10)) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = \frac{(λ (- 3 λ) + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.5.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = \frac{(- 3 λ \cdot λ + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.2.1.2

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.5.2.1.2.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 (λ \cdot λ) + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + λ \cdot 10 + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.2.1.3

Bringe $10$ auf die linke Seite von $λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + 10 \cdot λ + 6 (- 3 λ) + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + 10 λ - 18 λ + 6 \cdot 10) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} + 10 λ - 18 λ + 60) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.2.2

Subtrahiere $18 λ$ von $10 λ$ .

$p (λ) = \frac{(- 3 λ^{2} - 8 λ + 60) (λ - 8) - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.3

Multipliziere $(- 3 λ^{2} - 8 λ + 60) (λ - 8)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{2} λ - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.5.4.1

Multipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.5.4.1.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ \cdot λ^{2}) - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.4.1.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ .

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Schritt 5.5.5.4.1.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = \frac{- 3 (λ^{1} λ^{2}) - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{1 + 2} - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.4.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} - 3 λ^{2} \cdot - 8 - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ \cdot λ - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.4.3

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.5.4.3.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 (λ \cdot λ) - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.4.3.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ^{2} - 8 λ \cdot - 8 + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.4.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ^{2} + 64 λ + 60 λ + 60 \cdot - 8 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.4.5

Mutltipliziere $60$ mit $- 8$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 24 λ^{2} - 8 λ^{2} + 64 λ + 60 λ - 480 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.5

Subtrahiere $8 λ^{2}$ von $24 λ^{2}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 64 λ + 60 λ - 480 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.6

Addiere $64 λ$ und $60 λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480 - 8 λ \cdot 3}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 124 λ - 480 - 24 λ}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.5.8

Subtrahiere $24 λ$ von $124 λ$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480}{3} + 160 + 60 λ$

Schritt 5.5.6

Um $160$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480}{3} + 160 \cdot \frac{3}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.7

Kombiniere $160$ und $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480}{3} + \frac{160 \cdot 3}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480 + 160 \cdot 3}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.9

Mutltipliziere $160$ mit $3$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ - 480 + 480}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.10

Addiere $- 480$ und $480$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ + 0}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.11

Addiere $- 3 λ^{3}$ und $0$ .

$p (λ) = \frac{- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.12

Faktorisiere $λ$ aus $- 3 λ^{3} + 16 λ^{2} + 100 λ$ heraus.

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Schritt 5.5.12.1

Faktorisiere $λ$ aus $- 3 λ^{3}$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + 16 λ^{2} + 100 λ}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.12.2

Faktorisiere $λ$ aus $16 λ^{2}$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ) + 100 λ}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.12.3

Faktorisiere $λ$ aus $100 λ$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ) + λ \cdot 100}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.12.4

Faktorisiere $λ$ aus $λ (- 3 λ^{2}) + λ (16 λ)$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ) + λ \cdot 100}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.12.5

Faktorisiere $λ$ aus $λ (- 3 λ^{2} + 16 λ) + λ \cdot 100$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100)}{3} + 60 λ$

Schritt 5.5.13

Um $60 λ$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100)}{3} + 60 λ \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.5.14

Kombiniere $60 λ$ und $\frac{3}{3}$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100)}{3} + \frac{60 λ \cdot 3}{3}$

Schritt 5.5.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + 60 λ \cdot 3}{3}$

Schritt 5.5.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.16.1

Faktorisiere $λ$ aus $λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + 60 λ \cdot 3$ heraus.

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Schritt 5.5.16.1.1

Faktorisiere $λ$ aus $60 λ \cdot 3$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + λ (60 \cdot 3)}{3}$

Schritt 5.5.16.1.2

Faktorisiere $λ$ aus $λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100) + λ (60 \cdot 3)$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100 + 60 \cdot 3)}{3}$

Schritt 5.5.16.2

Mutltipliziere $60$ mit $3$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 100 + 180)}{3}$

Schritt 5.5.16.3

Addiere $100$ und $180$ .

$p (λ) = \frac{λ (- 3 λ^{2} + 16 λ + 280)}{3}$

Schritt 5.5.17

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 λ^{2}$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2}) + 16 λ + 280)}{3}$

Schritt 5.5.18

Faktorisiere $- 1$ aus $16 λ$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2}) - (- 16 λ) + 280)}{3}$

Schritt 5.5.19

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 λ^{2}) - (- 16 λ)$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2} - 16 λ) + 280)}{3}$

Schritt 5.5.20

Schreibe $280$ als $- 1 (- 280)$ um.

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2} - 16 λ) - 1 (- 280))}{3}$

Schritt 5.5.21

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 λ^{2} - 16 λ) - 1 (- 280)$ heraus.

$p (λ) = \frac{λ (- (3 λ^{2} - 16 λ - 280))}{3}$

Schritt 5.5.22

Schreibe $- (3 λ^{2} - 16 λ - 280)$ als $- 1 (3 λ^{2} - 16 λ - 280)$ um.

$p (λ) = \frac{λ (- 1 (3 λ^{2} - 16 λ - 280))}{3}$

Schritt 5.5.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p (λ) = - \frac{λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280)}{3}$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- \frac{λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280)}{3} = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280) = 0$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $λ$ auf.

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Schritt 7.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ = 0$

$3 λ^{2} - 16 λ - 280 = 0$

Schritt 7.2.2

Setze $λ$ gleich $0$ .

$λ = 0$

Schritt 7.2.3

Setze $3 λ^{2} - 16 λ - 280$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.2.3.1

Setze $3 λ^{2} - 16 λ - 280$ gleich $0$ .

$3 λ^{2} - 16 λ - 280 = 0$

Schritt 7.2.3.2

Löse $3 λ^{2} - 16 λ - 280 = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 7.2.3.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.3.2.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 16$ und $c = - 280$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 280)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.2.3.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 280}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 280$ .

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Schritt 7.2.3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 280}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 280$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 3360}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.3.1.3

Addiere $256$ und $3360$ .

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{3616}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.3.1.4

Schreibe $3616$ als $4^{2} \cdot 226$ um.

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Schritt 7.2.3.2.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $3616$ heraus.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{16 (226)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$λ = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 226}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$λ = \frac{16 \pm 4 \sqrt{226}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$λ = \frac{16 \pm 4 \sqrt{226}}{6}$

Schritt 7.2.3.2.3.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{226}}{6}$ .

$λ = \frac{8 \pm 2 \sqrt{226}}{3}$

Schritt 7.2.3.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = \frac{8 + 2 \sqrt{226}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{226}}{3}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $λ (3 λ^{2} - 16 λ - 280) = 0$ wahr machen.

$λ = 0, \frac{8 + 2 \sqrt{226}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{226}}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$λ = 0, \frac{8 + 2 \sqrt{226}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{226}}{3}$

Dezimalform:

$λ = 0, 12.68886425 \dots, - 7.35553091 \dots$