Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $4$ ist die $4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{4}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.12.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.13.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.14.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.15.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 + 0 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.7

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 + 0 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.8

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 + 0 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.9

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 + 0 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.10

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 + 0 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.11

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.12

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 4 - λ & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) ((4 - λ) (4 - λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Multipliziere $(4 - λ) (4 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (4 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ (4 - λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.2

Subtrahiere $4 λ$ von $- 4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 - 8 λ + λ^{2} - 16$ .

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Schritt 5.2.2.2.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.2.2

Addiere $- 8 λ + λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (- 8 λ + λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.3

Stelle $- 8 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (16 - 4 λ - 16) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 - 4 λ - 16$ .

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ + 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Addiere $- 4 λ$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 \cdot 4 - 4 (4 - λ))) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (16 - 4 (4 - λ))) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (16 - 4 \cdot 4 - 4 (- λ))) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (16 - 16 - 4 (- λ))) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (16 - 16 + 4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (0 + 4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.4.2.3

Addiere $0$ und $4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1.1

Multipliziere $(4 - λ) (λ^{2} - 8 λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (4 (λ^{2} - 8 λ) - λ (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} + 4 (- 8 λ) - λ (λ^{2} - 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} + 4 (- 8 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.1.2

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.5.1.2.1.2.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.2.5.1.2.1.2.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - λ (- 8 λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.1.4

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.5.1.2.1.4.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$p (λ) = (4 - λ) (4 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 8 λ^{2} - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.2.2

Addiere $4 λ^{2}$ und $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} - 4 (- 4 λ) + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 16 λ + 4 (4 λ)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 16 λ + 16 λ) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 32 λ$ und $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 16 λ) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $12 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 16 λ$ .

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Schritt 5.2.5.3.1

Addiere $- 16 λ$ und $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - λ^{3} + 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.3.2

Addiere $12 λ^{2} - λ^{3}$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (12 λ^{2} - λ^{3}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.5.4

Stelle $12 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.3.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (16 - 4 λ - 16) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 - 4 λ - 16$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ + 0) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Addiere $- 4 λ$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.3

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (16 - 4 λ - 16) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 - 4 λ - 16$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ + 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Addiere $- 4 λ$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 (4 \cdot 4 - 4 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 (16 - 4 \cdot 4)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 (16 - 16)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (- 4 (- 4 λ) + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.5.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ + (4 - λ) (- 4 λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ + 4 (- 4 λ) - λ (- 4 λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ - λ (- 4 λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.5.1.5.1

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.5.1.5.1.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5.1.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ - 1 \cdot - 4 λ^{2} - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} - 4 \cdot 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 0$ .

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Schritt 5.3.5.2.1

Addiere $16 λ - 16 λ + 4 λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2}) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2

Subtrahiere $16 λ$ von $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (0 + 4 λ^{2}) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.3

Addiere $0$ und $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.2

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (16 - 4 λ - 16) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 - 4 λ - 16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ + 0) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.2.2.2.2

Addiere $- 4 λ$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.3

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (4 (4 - λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (16 + 4 (- λ) - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (16 - 4 λ - 4 \cdot 4) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (16 - 4 λ - 16) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 - 4 λ - 16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.2.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ + 0) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Addiere $- 4 λ$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 (4 \cdot 4 - 4 \cdot 4)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 (16 - 4 \cdot 4)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 (16 - 16)) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (4 (- 4 λ) - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.5.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ - (4 - λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + (- 1 \cdot 4 - - λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + (- 4 - - λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.4

Multipliziere $- - λ$ .

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Schritt 5.4.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + (- 4 + 1 λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + (- 4 + λ) (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ - 4 (- 4 λ) + λ (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ + λ (- 4 λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 λ \cdot λ + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1.8.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 (λ \cdot λ) + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.8.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2} + 4 \cdot 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2} + 0) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2} + 0$ .

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Schritt 5.4.5.2.1

Addiere $- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 16 λ + 16 λ - 4 λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.2

Addiere $- 16 λ$ und $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (0 - 4 λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.3

Subtrahiere $4 λ^{2}$ von $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.5

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ & 4 \\ 4 & 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 \cdot 4 - 4 (4 - λ)) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (16 - 4 (4 - λ)) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (16 - 4 \cdot 4 - 4 (- λ)) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (16 - 16 - 4 (- λ)) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (16 - 16 + 4 λ) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (0 + 4 λ) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.3

Addiere $0$ und $4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) | \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 - λ \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 \cdot 4 - 4 (4 - λ)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (16 - 4 (4 - λ)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (16 - 4 \cdot 4 - 4 (- λ)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (16 - 16 - 4 (- λ)) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (16 - 16 + 4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (0 + 4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.3

Addiere $0$ und $4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |)$

Schritt 5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 (4 \cdot 4 - 4 \cdot 4))$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 (16 - 4 \cdot 4))$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 (16 - 16))$

Schritt 5.5.4.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 (4 λ) - (4 - λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - (4 - λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ + (- 1 \cdot 4 - - λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ + (- 4 - - λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.4

Multipliziere $- - λ$ .

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Schritt 5.5.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ + (- 4 + 1 λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ + (- 4 + λ) (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 4 (4 λ) + λ (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + λ (4 λ) + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ \cdot λ + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.8

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.5.1.8.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 (λ \cdot λ) + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.8.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 4 \cdot 0)$

Schritt 5.5.5.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 0)$

Schritt 5.5.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 λ - 16 λ + 4 λ^{2} + 0$ .

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Schritt 5.5.5.2.1

Addiere $16 λ - 16 λ + 4 λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (16 λ - 16 λ + 4 λ^{2})$

Schritt 5.5.5.2.2

Subtrahiere $16 λ$ von $16 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (0 + 4 λ^{2})$

Schritt 5.5.5.3

Addiere $0$ und $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1.1

Multipliziere $(4 - λ) (- λ^{3} + 12 λ^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - λ (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (12 λ^{2}) - λ (- λ^{3} + 12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (12 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 (12 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.1.2.1.4.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.6.1.2.1.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + 1 λ^{4} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.6

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - λ (12 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 λ \cdot λ^{2} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.8

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.1.2.1.8.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 (λ^{2} λ) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.8.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.6.1.2.1.8.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 (λ^{2} λ^{1}) - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 λ^{2 + 1} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.8.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 12 λ^{3} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 12 λ^{3} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.2.2

Subtrahiere $12 λ^{3}$ von $- 4 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 4 (4 λ^{2}) + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 16 λ^{2} + 4 (- 4 λ^{2}) - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 16 λ^{2} - 16 λ^{2} - 4 (4 λ^{2})$

Schritt 5.6.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 48 λ^{2} + λ^{4} - 16 λ^{2} - 16 λ^{2} - 16 λ^{2}$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $16 λ^{2}$ von $48 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4} + 32 λ^{2} - 16 λ^{2} - 16 λ^{2}$

Schritt 5.6.3

Subtrahiere $16 λ^{2}$ von $32 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4} + 16 λ^{2} - 16 λ^{2}$

Schritt 5.6.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 16 λ^{3} + λ^{4} + 16 λ^{2} - 16 λ^{2}$ .

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Schritt 5.6.4.1

Subtrahiere $16 λ^{2}$ von $16 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4} + 0$

Schritt 5.6.4.2

Addiere $- 16 λ^{3} + λ^{4}$ und $0$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4}$

Schritt 5.6.5

Stelle $- 16 λ^{3}$ und $λ^{4}$ um.

$p (λ) = λ^{4} - 16 λ^{3}$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{4} - 16 λ^{3} = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $λ^{3}$ aus $λ^{4} - 16 λ^{3}$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $λ^{3}$ aus $λ^{4}$ heraus.

$λ^{3} λ - 16 λ^{3} = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $λ^{3}$ aus $- 16 λ^{3}$ heraus.

$λ^{3} λ + λ^{3} \cdot - 16 = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $λ^{3}$ aus $λ^{3} λ + λ^{3} \cdot - 16$ heraus.

$λ^{3} (λ - 16) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ^{3} = 0$

$λ - 16 = 0$

Schritt 7.3

Setze $λ^{3}$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $λ^{3}$ gleich $0$ .

$λ^{3} = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $λ^{3} = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \sqrt[3]{0}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$λ = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 7.3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$λ = 0$

Schritt 7.4

Setze $λ - 16$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $λ - 16$ gleich $0$ .

$λ - 16 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 16$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $λ^{3} (λ - 16) = 0$ wahr machen.

$λ = 0, 16$