Lineare Algebra Beispiele

${[\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}]}^{- 1}$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{1})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $1$ ist die $1 \times 1$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{1})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}] - λ I_{1})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{1}$ durch $[\begin{array}{c} 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Um $- λ$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x y}{x y}$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} - λ \cdot \frac{x y}{x y} \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $- λ$ und $\frac{x y}{x y}$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x}}{x y} + \frac{- λ (x y)}{x y} \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x} - λ x y}{x y} \end{array}]$

Schritt 5

Die Determinante einer $1 \times 1$ -Matrix ist das Element selbst.

$p (λ) = \frac{\sqrt{y} - \sqrt{x} - λ x y}{x y}$