Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $- 3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(8 - λ) (2 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.2.2

Subtrahiere $2 λ$ von $- 8 λ$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 9$

Schritt 5.2.2

Addiere $16$ und $9$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 25$

Schritt 5.2.3

Stelle $- 10 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 25$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 10 λ + 25 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$λ^{2} - 10 λ + 5^{2} = 0$

Schritt 7.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

Schritt 7.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = λ$ und $b = 5$ .

${(λ - 5)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Setze $λ - 5$ gleich $0$ .

$λ - 5 = 0$

Schritt 7.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 5$