Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $4$ ist die $4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{4}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.12.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.13.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.14.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.15.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 5 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 & 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.7

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 & 0 \\ 3 & 1 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.8

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.9

Subtrahiere $λ$ von $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 & 0 \\ 3 & 1 & - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 & 0 \\ 3 & 1 & - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.11

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 & 0 \\ 3 & 1 & - λ & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.12

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 & 0 \\ 3 & 1 & - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.13

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 5 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 & 0 \\ 3 & 1 & - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 & 0 \\ 1 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 & 0 \\ 1 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 & 0 \\ 1 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 & 0 \\ 1 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 & 0 \\ 1 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.3.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.3.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3

Berechne $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.2.1.4.1.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.4.3

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- λ + λ^{2} - 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.3.2.2

Stelle $- λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - λ - 1) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - λ - 1) - 2 (1 (1 - λ) - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $1 - λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - λ - 1) - 2 (1 - λ - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - λ - 1) - 2 (1 - λ - 1) + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - λ - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - λ - 1) - 2 (- λ + 0) + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Addiere $- λ$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - λ - 1) - 2 (- λ) + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $(3 - λ) (λ^{2} - λ - 1) - 2 (- λ)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - λ - 1) - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.5.2.1

Multipliziere $(3 - λ) (λ^{2} - λ - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- λ) + 3 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ + 3 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.5.2.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - (λ^{2} λ) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.3.5.2.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- λ) - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{2 + 1} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} - λ (- λ) - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} - 1 \cdot - 1 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + 1 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + λ^{2} - λ \cdot - 1 - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.8

Multipliziere $- λ \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.2.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + λ^{2} + 1 λ - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.2.8.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + λ^{2} + λ - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.3

Addiere $3 λ^{2}$ und $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 λ^{2} - 3 λ - 3 - λ^{3} + λ - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.4

Addiere $- 3 λ$ und $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 λ^{2} - 2 λ - 3 - λ^{3} - 2 (- λ)) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 λ^{2} - 2 λ - 3 - λ^{3} + 2 λ) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 λ^{2} - 2 λ - 3 - λ^{3} + 2 λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.5.3.1

Addiere $- 2 λ$ und $2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 λ^{2} - 3 - λ^{3} + 0) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.3.2

Addiere $4 λ^{2} - 3 - λ^{3}$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 λ^{2} - 3 - λ^{3}) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.4

Bewege $- 3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 λ^{2} - λ^{3} - 3) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.5.5

Stelle $4 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (1 (1 - λ) - 1 \cdot 1) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.2.1.1

Mutltipliziere $1 - λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (1 - λ - 1 \cdot 1) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (1 - λ - 1) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 - λ - 1$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ + 0) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Addiere $- λ$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ) - (3 - λ) (3 (1 - λ) + 0 \cdot 1) + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ) - (3 - λ) (3 \cdot 1 + 3 (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ) - (3 - λ) (3 + 3 (- λ) + 0 \cdot 1) + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ) - (3 - λ) (3 - 3 λ + 0 \cdot 1) + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ) - (3 - λ) (3 - 3 λ + 0) + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.2

Addiere $3 - 3 λ$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ) - (3 - λ) (3 - 3 λ) + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.4.2.3

Stelle $3$ und $- 3 λ$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ) - (3 - λ) (- 3 λ + 3) + 0) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.1

Addiere $1 (- λ) - (3 - λ) (- 3 λ + 3)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (1 (- λ) - (3 - λ) (- 3 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.5.2.1

Mutltipliziere $- λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ - (3 - λ) (- 3 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + (- 1 \cdot 3 - - λ) (- 3 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + (- 3 - - λ) (- 3 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.4

Multipliziere $- - λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.5.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + (- 3 + 1 λ) (- 3 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + (- 3 + λ) (- 3 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.5

Multipliziere $(- 3 + λ) (- 3 λ + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.5.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ - 3 (- 3 λ + 3) + λ (- 3 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ - 3 (- 3 λ) - 3 \cdot 3 + λ (- 3 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ - 3 (- 3 λ) - 3 \cdot 3 + λ (- 3 λ) + λ \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.5.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.5.2.6.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + 9 λ - 3 \cdot 3 + λ (- 3 λ) + λ \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + 9 λ - 9 + λ (- 3 λ) + λ \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + 9 λ - 9 - 3 λ \cdot λ + λ \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.6.1.4

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.5.2.6.1.4.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + 9 λ - 9 - 3 (λ \cdot λ) + λ \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.6.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + 9 λ - 9 - 3 λ^{2} + λ \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.6.1.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + 9 λ - 9 - 3 λ^{2} + 3 λ) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.2.6.2

Addiere $9 λ$ und $3 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- λ + 12 λ - 9 - 3 λ^{2}) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.3

Addiere $- λ$ und $12 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (11 λ - 9 - 3 λ^{2}) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.4

Bewege $- 9$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (11 λ - 3 λ^{2} - 9) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4.5.5

Stelle $11 λ$ und $- 3 λ^{2}$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.5

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ & 2 \\ 3 & 1 & - λ \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 | \begin{array}{c} 1 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} | - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (1 \cdot 1 - - λ) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (1 - - λ) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Multipliziere $- - λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (1 + 1 λ) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (1 + λ) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.2.2.2

Stelle $1$ und $λ$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) (3 \cdot 1 + 0 (- λ)) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) (3 + 0 (- λ)) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.2

Multipliziere $0 (- λ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) (3 + 0 λ) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) (3 + 0) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.3.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) \cdot 3 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |)$

Schritt 5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) \cdot 3 + 2 (3 \cdot 1 + 0 \cdot 1))$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) \cdot 3 + 2 (3 + 0 \cdot 1))$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) \cdot 3 + 2 (3 + 0))$

Schritt 5.5.4.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (1 (λ + 1) - (3 - λ) \cdot 3 + 2 \cdot 3)$

Schritt 5.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.1

Mutltipliziere $λ + 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (λ + 1 - (3 - λ) \cdot 3 + 2 \cdot 3)$

Schritt 5.5.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (λ + 1 + (- 1 \cdot 3 - - λ) \cdot 3 + 2 \cdot 3)$

Schritt 5.5.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (λ + 1 + (- 3 - - λ) \cdot 3 + 2 \cdot 3)$

Schritt 5.5.5.1.4

Multipliziere $- - λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (λ + 1 + (- 3 + 1 λ) \cdot 3 + 2 \cdot 3)$

Schritt 5.5.5.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (λ + 1 + (- 3 + λ) \cdot 3 + 2 \cdot 3)$

Schritt 5.5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (λ + 1 - 3 \cdot 3 + λ \cdot 3 + 2 \cdot 3)$

Schritt 5.5.5.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (λ + 1 - 9 + λ \cdot 3 + 2 \cdot 3)$

Schritt 5.5.5.1.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (λ + 1 - 9 + 3 \cdot λ + 2 \cdot 3)$

Schritt 5.5.5.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (λ + 1 - 9 + 3 λ + 6)$

Schritt 5.5.5.2

Addiere $λ$ und $3 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ + 1 - 9 + 6)$

Schritt 5.5.5.3

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 8 + 6)$

Schritt 5.5.5.4

Addiere $- 8$ und $6$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 0 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Addiere $(1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3) + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.2.1

Multipliziere $(1 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (4 λ^{2}) + 1 \cdot - 3 - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.1

Mutltipliziere $- λ^{3}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (4 λ^{2}) + 1 \cdot - 3 - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.2

Mutltipliziere $4 λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} + 1 \cdot - 3 - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.5.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.5.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.5.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.5.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.7

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} - λ (4 λ^{2}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.9

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.9.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.9.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.2.9.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{2 + 1} - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{3} - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} - 4 λ^{3} - λ \cdot - 3 + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.2.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} - 4 λ^{3} + 3 λ + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.3

Subtrahiere $4 λ^{3}$ von $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} + 3 λ + 5 (- 3 λ^{2} + 11 λ - 9) - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} + 3 λ + 5 (- 3 λ^{2}) + 5 (11 λ) + 5 \cdot - 9 - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} + 3 λ - 15 λ^{2} + 5 (11 λ) + 5 \cdot - 9 - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.5.2

Mutltipliziere $11$ mit $5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} + 3 λ - 15 λ^{2} + 55 λ + 5 \cdot - 9 - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} + 3 λ - 15 λ^{2} + 55 λ - 45 - 3 (4 λ - 2)$

Schritt 5.6.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} + 3 λ - 15 λ^{2} + 55 λ - 45 - 3 (4 λ) - 3 \cdot - 2$

Schritt 5.6.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} + 3 λ - 15 λ^{2} + 55 λ - 45 - 12 λ - 3 \cdot - 2$

Schritt 5.6.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 + λ^{4} + 3 λ - 15 λ^{2} + 55 λ - 45 - 12 λ + 6$

Schritt 5.6.3

Subtrahiere $15 λ^{2}$ von $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} - 11 λ^{2} - 3 + λ^{4} + 3 λ + 55 λ - 45 - 12 λ + 6$

Schritt 5.6.4

Subtrahiere $45$ von $- 3$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} - 11 λ^{2} + λ^{4} + 3 λ + 55 λ - 48 - 12 λ + 6$

Schritt 5.6.5

Addiere $3 λ$ und $55 λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} - 11 λ^{2} + λ^{4} + 58 λ - 48 - 12 λ + 6$

Schritt 5.6.6

Subtrahiere $12 λ$ von $58 λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} - 11 λ^{2} + λ^{4} + 46 λ - 48 + 6$

Schritt 5.6.7

Addiere $- 48$ und $6$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} - 11 λ^{2} + λ^{4} + 46 λ - 42$

Schritt 5.6.8

Bewege $- 11 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + λ^{4} - 11 λ^{2} + 46 λ - 42$

Schritt 5.6.9

Stelle $- 5 λ^{3}$ und $λ^{4}$ um.

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{3} - 11 λ^{2} + 46 λ - 42$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{4} - 5 λ^{3} - 11 λ^{2} + 46 λ - 42 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$λ \approx - 3.37785181, 5.74238923$