Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $4$ ist die $4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{4}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.12.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.13.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.14.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.15.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.8

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.9

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.11

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5

Berechne $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Multipliziere $(1 - λ) (1 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.2

Subtrahiere $λ$ von $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.2

Addiere $1 - 2 λ + λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.3

Bewege $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.4.2.4

Stelle $- 2 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) + 0 + 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1.1

Addiere $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1) + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.1.2

Addiere $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.2

Multipliziere $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.5.3.1

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.2

Mutltipliziere $- 2 λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.5.3.4.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.4.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.3.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.6

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.3.6.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.4

Addiere $λ^{2}$ und $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 2 λ + 1 - λ^{3} - λ) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.5

Subtrahiere $λ$ von $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.6

Bewege $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 3 λ - λ^{3} + 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.7

Bewege $- 3 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - λ^{3} - 3 λ + 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.5.5.8

Stelle $3 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0 + 0 + 0$

Schritt 5.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0 + 0 + 0$ .

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Schritt 5.6.1.1

Addiere $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0 + 0$

Schritt 5.6.1.2

Addiere $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1) + 0$

Schritt 5.6.1.3

Addiere $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$

Schritt 5.6.2

Multipliziere $(1 - λ) (- λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.3.1

Mutltipliziere $- λ^{3}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (3 λ^{2}) + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.2

Mutltipliziere $3 λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.3

Mutltipliziere $- 3 λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 \cdot 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - λ (- λ^{3}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.6

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.3.6.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.6.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.6.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + 1 λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.8

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - λ (3 λ^{2}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.10

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.3.10.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.10.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.6.3.10.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 1 \cdot 3 λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.13

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.3.13.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.13.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 1$

Schritt 5.6.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - 3 λ^{3} + 3 λ^{2} - λ$

Schritt 5.6.4

Subtrahiere $3 λ^{3}$ von $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 3 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} + 3 λ^{2} - λ$

Schritt 5.6.5

Addiere $3 λ^{2}$ und $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 3 λ + 1 + λ^{4} - λ$

Schritt 5.6.6

Subtrahiere $λ$ von $- 3 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1 + λ^{4}$

Schritt 5.6.7

Bewege $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + λ^{4} + 1$

Schritt 5.6.8

Bewege $- 4 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} + λ^{4} - 4 λ + 1$

Schritt 5.6.9

Bewege $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + λ^{4} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1$

Schritt 5.6.10

Stelle $- 4 λ^{3}$ und $λ^{4}$ um.

$p (λ) = λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $λ^{4} - 4 λ^{3} + 6 λ^{2} - 4 λ + 1$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

${(1 - λ)}^{4} = 0$

Schritt 7.2

Setze $1 - λ$ gleich $0$ .

$1 - λ = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- λ = - 1$

Schritt 7.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- λ = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- λ = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.2

Dividiere $λ$ durch $1$ .

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$λ = 1$