Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $4$ ist die $4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{4}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.10

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.12

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.12.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.12.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.13

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.13.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.13.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.14

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.14.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.15

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.15.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.15.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $- 5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.8

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.9

Subtrahiere $λ$ von $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.11

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.13

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.14

Subtrahiere $λ$ von $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5

Berechne $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.2

Addiere $λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2} + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(1 - λ) λ^{2} + 0 + 0$ .

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Schritt 1.5.5.5.1.1

Addiere $(1 - λ) λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2} + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.1.2

Addiere $(1 - λ) λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.5.4.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (λ^{2} λ)) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.4.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 1.5.5.5.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (λ^{2} λ^{1})) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ^{2 + 1}) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.5

Stelle $λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0 + 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.1.1

Addiere $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0$

Schritt 1.5.6.1.2

Addiere $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0$

Schritt 1.5.6.1.3

Addiere $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$

Schritt 1.5.6.2

Multipliziere $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 (- λ^{3} + λ^{2}) - λ (- λ^{3} + λ^{2})$

Schritt 1.5.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3} + λ^{2})$

Schritt 1.5.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.6.3.1.1

Mutltipliziere $- λ^{3}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3.1.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3.1.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.3.1.4.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3.1.4.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

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Schritt 1.5.6.3.1.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3.1.4.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 1 λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3.1.6

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

Schritt 1.5.6.3.1.7

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.6.3.1.7.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - (λ^{2} λ)$

Schritt 1.5.6.3.1.7.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 1.5.6.3.1.7.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - (λ^{2} λ^{1})$

Schritt 1.5.6.3.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ^{2 + 1}$

Schritt 1.5.6.3.1.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ^{3}$

Schritt 1.5.6.3.2

Subtrahiere $λ^{3}$ von $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4}$

Schritt 1.5.6.4

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + λ^{4} + λ^{2}$

Schritt 1.5.6.5

Stelle $- 2 λ^{3}$ und $λ^{4}$ um.

$p (λ) = λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2}$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2}$ heraus.

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Schritt 1.7.1.1.1

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $λ^{4}$ heraus.

$λ^{2} λ^{2} - 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

Schritt 1.7.1.1.2

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $- 2 λ^{3}$ heraus.

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ) + λ^{2} = 0$

Schritt 1.7.1.1.3

Multipliziere mit $1$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 1.7.1.1.4

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ)$ heraus.

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 1.7.1.1.5

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $λ^{2} (λ^{2} - 2 λ) + λ^{2} \cdot 1$ heraus.

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ + 1) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.7.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.7.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

Schritt 1.7.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$λ^{2} (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.7.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = λ$ und $b = 1$ .

$λ^{2} {(λ - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ^{2} = 0$

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.7.3

Setze $λ^{2}$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.3.1

Setze $λ^{2}$ gleich $0$ .

$λ^{2} = 0$

Schritt 1.7.3.2

Löse $λ^{2} = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.7.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.7.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.7.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$λ = \pm 0$

Schritt 1.7.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$λ = 0$

Schritt 1.7.4

Setze ${(λ - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze ${(λ - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.7.4.2

Löse ${(λ - 1)}^{2} = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.2.1

Setze $λ - 1$ gleich $0$ .

$λ - 1 = 0$

Schritt 1.7.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 1$

Schritt 1.7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $λ^{2} {(λ - 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$λ = 0, 1$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $0$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.8

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.10

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.11

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.13

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.14

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.15

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.16

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2

Simplify each element.

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Schritt 3.2.2.2.1

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.3

Addiere $- 5$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.5

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.7

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.8

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.9

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.10

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.11

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.12

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.13

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.14

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.15

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.16

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - 5 x_{3} = 0$

$x_{2} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.3

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 x_{3} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.4

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

Schritt 3.3.6

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Simplify each element.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $0$ von $- 5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.4

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.5

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.7

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.8

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.9

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.10

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.11

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.12

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.13

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.14

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.15

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.16

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 3$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{1}, x_{2} \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$