Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 \\ 3 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + (5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) ((1 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Multipliziere $(1 - λ) (2 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.2

Subtrahiere $2 λ$ von $- λ$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 6) + 0$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 4) + 0$

Schritt 1.5.4.2.3

Stelle $- 3 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$

Schritt 1.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$ .

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Schritt 1.5.5.1.1

Addiere $0$ und $(5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$

Schritt 1.5.5.1.2

Addiere $(5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ und $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

Schritt 1.5.5.2

Multipliziere $(5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 5 (- 3 λ) + 5 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ + 5 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.3.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 1.5.5.3.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.3.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

Schritt 1.5.5.3.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 4 λ$

Schritt 1.5.5.4

Addiere $5 λ^{2}$ und $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} + 4 λ$

Schritt 1.5.5.5

Addiere $- 15 λ$ und $4 λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 11 λ - 20 - λ^{3}$

Schritt 1.5.5.6

Bewege $- 20$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 11 λ - λ^{3} - 20$

Schritt 1.5.5.7

Bewege $- 11 λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - λ^{3} - 11 λ - 20$

Schritt 1.5.5.8

Stelle $8 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 1.7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Schritt 1.7.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.7.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- {(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 20$

Schritt 1.7.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- - 1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 20$

Schritt 1.7.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 20$

Schritt 1.7.1.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 8 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 - 20$

Schritt 1.7.1.1.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$1 + 8 - 11 \cdot - 1 - 20$

Schritt 1.7.1.1.3.6

Addiere $1$ und $8$ .

$9 - 11 \cdot - 1 - 20$

Schritt 1.7.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 1$ .

$9 + 11 - 20$

Schritt 1.7.1.1.3.8

Addiere $9$ und $11$ .

$20 - 20$

Schritt 1.7.1.1.3.9

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$0$

Schritt 1.7.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20}{λ + 1}$

Schritt 1.7.1.1.5

Dividiere $- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$ durch $λ + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$8 λ^{2}$

$11 λ$

$20$

Schritt 1.7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$

Schritt 1.7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- λ^{3} - λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					+	$9 λ^{2}$	+	$9 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 λ^{2} + 9 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$

Schritt 1.7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 20 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$

Schritt 1.7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$
							-	$20 λ$	-	$20$

Schritt 1.7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 20 λ - 20$

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$
							+	$20 λ$	+	$20$

Schritt 1.7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$
							+	$20 λ$	+	$20$
										$0$

Schritt 1.7.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- λ^{2} + 9 λ - 20$

Schritt 1.7.1.1.6

Schreibe $- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ + 1) (- λ^{2} + 9 λ - 20) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.7.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.7.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 20 = 20$ und deren Summe gleich $b = 9$ ist.

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Schritt 1.7.1.2.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 λ$ heraus.

$(λ + 1) (- λ^{2} + 9 (λ) - 20) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.1.2

Schreibe $9$ um als $4$ plus $5$

$(λ + 1) (- λ^{2} + (4 + 5) λ - 20) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(λ + 1) (- λ^{2} + 4 λ + 5 λ - 20) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.7.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(λ + 1) ((- λ^{2} + 4 λ) + 5 λ - 20) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(λ + 1) (λ (- λ + 4) - 5 (- λ + 4)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- λ + 4$ .

$(λ + 1) ((- λ + 4) (λ - 5)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ + 1) (- λ + 4) (λ - 5) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ + 1 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 5 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze $λ + 1$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.3.1

Setze $λ + 1$ gleich $0$ .

$λ + 1 = 0$

Schritt 1.7.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$λ = - 1$

Schritt 1.7.4

Setze $- λ + 4$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze $- λ + 4$ gleich $0$ .

$- λ + 4 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Löse $- λ + 4 = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- λ = - 4$

Schritt 1.7.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- λ = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.7.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- λ = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.7.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.7.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.7.4.2.2.2.2

Dividiere $λ$ durch $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.7.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.7.4.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$λ = 4$

Schritt 1.7.5

Setze $λ - 5$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.5.1

Setze $λ - 5$ gleich $0$ .

$λ - 5 = 0$

Schritt 1.7.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 5$

Schritt 1.7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(λ + 1) (- λ + 4) (λ - 5) = 0$ wahr machen.

$λ = - 1, 4, 5$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Simplify each element.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $1$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.5

Addiere $5$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.6

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.7

Addiere $3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.8

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.9

Addiere $2$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $- 4$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - 4 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Addiere $3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.8

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.9

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & - 2 - 3 (- \frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{2}{3} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 z}{3} \\ 0 \\ z \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

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Schritt 5.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $- 5$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - 5 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.5

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.7

Addiere $3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.8

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.9

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 \end{array}]$

Schritt 5.3

Find the null space when $λ = 5$ .

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Schritt 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 2 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 (- \frac{1}{2}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} (- \frac{3}{2}) & - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Schritt 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$