Lineare Algebra Beispiele

Bestimme die Eigenvektoren/den Eigenraum [[-16,8],[8,-4]]
Schritt 1
Bestimme die Eigenwerte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung zu ermitteln.
Schritt 1.2
Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe ist die Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.
Schritt 1.3
Setze die bekannten Werte in ein.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Ersetze durch .
Schritt 1.4
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 1.4.3
Simplify each element.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.3.1
Addiere und .
Schritt 1.4.3.2
Addiere und .
Schritt 1.5
Find the determinant.
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Schritt 1.5.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 1.5.2
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 1.5.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.5.2.1.1
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 1.5.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.2.1.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.2.1.2
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
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Schritt 1.5.2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.2.1.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.1.2.1.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.2.1.2.1.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 1.5.2.1.2.1.5.1
Bewege .
Schritt 1.5.2.1.2.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.1.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.1.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.1.2.2
Addiere und .
Schritt 1.5.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.2.2
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 1.5.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.2.2.2
Addiere und .
Schritt 1.5.2.3
Stelle und um.
Schritt 1.6
Setze das charakteristische Polynom gleich , um die Eigenwerte zu ermitteln.
Schritt 1.7
Löse nach auf.
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Schritt 1.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.7.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.7.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.7.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.7.3
Setze gleich .
Schritt 1.7.4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.7.4.1
Setze gleich .
Schritt 1.7.4.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.7.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Schritt 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
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Schritt 3.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
Schritt 3.2
Vereinfache.
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Schritt 3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 3.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
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Schritt 3.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 3.2.2.2
Simplify each element.
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Schritt 3.2.2.2.1
Addiere und .
Schritt 3.2.2.2.2
Addiere und .
Schritt 3.2.2.2.3
Addiere und .
Schritt 3.2.2.2.4
Addiere und .
Schritt 3.3
Find the null space when .
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Schritt 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Schritt 3.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
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Schritt 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.1.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.2.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Schritt 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Schritt 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Schritt 3.3.6
Write as a solution set.
Schritt 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Schritt 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
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Schritt 4.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
Schritt 4.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 4.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
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Schritt 4.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 4.2.3
Simplify each element.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.3.1
Addiere und .
Schritt 4.2.3.2
Addiere und .
Schritt 4.2.3.3
Addiere und .
Schritt 4.2.3.4
Addiere und .
Schritt 4.3
Find the null space when .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Schritt 4.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.1.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.2.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Schritt 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Schritt 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Schritt 4.3.6
Write as a solution set.
Schritt 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Schritt 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.