Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 - λ & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 - λ & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 + 0 & - 13 - λ & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $- 56$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 - λ & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $- 4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 - λ & - 4 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $- 14$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 - λ & - 4 \\ - 14 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $- 3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 - λ & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 13 - λ & - 4 \\ - 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(13 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & - 4 \\ - 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (13 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & - 4 \\ - 3 & - 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Berechne $| \begin{array}{c} - 13 - λ & - 4 \\ - 3 & - 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (13 - λ) ((- 13 - λ) (- 2 - λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Multipliziere $(- 13 - λ) (- 2 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (13 - λ) (- 13 (- 2 - λ) - λ (- 2 - λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (13 - λ) (- 13 \cdot - 2 - 13 (- λ) - λ (- 2 - λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (13 - λ) (- 13 \cdot - 2 - 13 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 2$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 - 13 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 13$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.2

Addiere $13 λ$ und $2 λ$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 15 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.3

Multipliziere $- (- 3 \cdot - 4)$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 15 λ + λ^{2} - 1 \cdot 12) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 15 λ + λ^{2} - 12) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.2

Subtrahiere $12$ von $26$ .

$p (λ) = (13 - λ) (15 λ + λ^{2} + 14) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.3

Stelle $15 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (- 56 (- 2 - λ) - (- 14 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (- 56 \cdot - 2 - 56 (- λ) - (- 14 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 56$ mit $- 2$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (112 - 56 (- λ) - (- 14 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 56$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (112 + 56 λ - (- 14 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.4

Multipliziere $- (- 14 \cdot - 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 4$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (112 + 56 λ - 1 \cdot 56) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $56$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (112 + 56 λ - 56) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.2

Subtrahiere $56$ von $112$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Schritt 1.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 56 \cdot - 3 - (- 14 (- 13 - λ)))$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 56$ mit $- 3$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - (- 14 (- 13 - λ)))$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - (- 14 \cdot - 13 - 14 (- λ)))$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 13$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - (182 - 14 (- λ)))$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 14$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - (182 + 14 λ))$

Schritt 1.5.4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - 1 \cdot 182 - (14 λ))$

Schritt 1.5.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $182$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - 182 - (14 λ))$

Schritt 1.5.4.2.1.7

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - 182 - 14 λ)$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $182$ von $168$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 - 14 λ)$

Schritt 1.5.4.2.3

Stelle $- 14$ und $- 14 λ$ um.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.1.1

Multipliziere $(13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 13 (15 λ) + 13 \cdot 14 - λ \cdot λ^{2} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.1.2.1

Mutltipliziere $15$ mit $13$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 13 \cdot 14 - λ \cdot λ^{2} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.2

Mutltipliziere $13$ mit $14$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ \cdot λ^{2} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.1.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - (λ^{2} λ) - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 1.5.5.1.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{2 + 1} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 1 \cdot 15 λ \cdot λ - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.1.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 1 \cdot 15 (λ \cdot λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 1 \cdot 15 λ^{2} - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 15 λ^{2} - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.2.7

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 15 λ^{2} - 14 λ - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.3

Subtrahiere $15 λ^{2}$ von $13 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 14 λ - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.4

Subtrahiere $14 λ$ von $195 λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 3 (56 λ) - 3 \cdot 56 + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.6

Mutltipliziere $56$ mit $- 3$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 168 λ - 3 \cdot 56 + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $56$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 168 λ - 168 + 1 (- 14 λ - 14)$

Schritt 1.5.5.1.8

Mutltipliziere $- 14 λ - 14$ mit $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 168 λ - 168 - 14 λ - 14$

Schritt 1.5.5.2

Subtrahiere $168 λ$ von $181 λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 13 λ + 182 - λ^{3} - 168 - 14 λ - 14$

Schritt 1.5.5.3

Subtrahiere $14 λ$ von $13 λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ + 182 - λ^{3} - 168 - 14$

Schritt 1.5.5.4

Subtrahiere $168$ von $182$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ - λ^{3} + 14 - 14$

Schritt 1.5.5.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 λ^{2} - λ - λ^{3} + 14 - 14$ .

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Schritt 1.5.5.5.1

Subtrahiere $14$ von $14$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ - λ^{3} + 0$

Schritt 1.5.5.5.2

Addiere $- 2 λ^{2} - λ - λ^{3}$ und $0$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ - λ^{3}$

Schritt 1.5.5.6

Bewege $- λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ^{3} - λ$

Schritt 1.5.5.7

Stelle $- 2 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} - 2 λ^{2} - λ = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3} - 2 λ^{2} - λ$ heraus.

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Schritt 1.7.1.1.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3}$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - 2 λ^{2} - λ = 0$

Schritt 1.7.1.1.2

Faktorisiere $- λ$ aus $- 2 λ^{2}$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ = 0$

Schritt 1.7.1.1.3

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1 = 0$

Schritt 1.7.1.1.4

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ (λ^{2}) - λ (2 λ)$ heraus.

$- λ (λ^{2} + 2 λ) - λ \cdot 1 = 0$

Schritt 1.7.1.1.5

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ (λ^{2} + 2 λ) - λ (1)$ heraus.

$- λ (λ^{2} + 2 λ + 1) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.7.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- λ (λ^{2} + 2 λ + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.7.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

Schritt 1.7.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- λ (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.7.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = λ$ und $b = 1$ .

$- λ {(λ + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ = 0$

${(λ + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.7.3

Setze $λ$ gleich $0$ .

$λ = 0$

Schritt 1.7.4

Setze ${(λ + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze ${(λ + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(λ + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.7.4.2

Löse ${(λ + 1)}^{2} = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.2.1

Setze $λ + 1$ gleich $0$ .

$λ + 1 = 0$

Schritt 1.7.4.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$λ = - 1$

Schritt 1.7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- λ {(λ + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$λ = 0, - 1$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $0$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.8

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 13 + 0 & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2

Simplify each element.

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Schritt 3.2.2.2.1

Addiere $13$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 + 0 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.4

Addiere $- 56$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.5

Addiere $- 13$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.6

Addiere $- 4$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.7

Addiere $- 14$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.8

Addiere $- 3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.9

Addiere $- 2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 & 0 \\ - 56 & - 13 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{13}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{13}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{13} & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & \frac{0}{13} \\ - 56 & - 13 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ - 56 & - 13 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 56 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 56 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ - 56 + 56 \cdot 1 & - 13 + 56 (\frac{3}{13}) & - 4 + 56 (\frac{1}{13}) & 0 + 56 \cdot 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{13} & \frac{4}{13} & 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 14 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 14 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{13} & \frac{4}{13} & 0 \\ - 14 + 14 \cdot 1 & - 3 + 14 (\frac{3}{13}) & - 2 + 14 (\frac{1}{13}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{13} & \frac{4}{13} & 0 \\ 0 & \frac{3}{13} & - \frac{12}{13} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 13$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 13$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ - 13 \cdot 0 & - 13 (- \frac{1}{13}) & - 13 (\frac{4}{13}) & - 13 \cdot 0 \\ 0 & \frac{3}{13} & - \frac{12}{13} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & \frac{3}{13} & - \frac{12}{13} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{13} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{3}{13} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 - \frac{3}{13} \cdot 0 & \frac{3}{13} - \frac{3}{13} \cdot 1 & - \frac{12}{13} - \frac{3}{13} \cdot - 4 & 0 - \frac{3}{13} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{13} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{13} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{13} \cdot 0 & \frac{3}{13} - \frac{3}{13} \cdot 1 & \frac{1}{13} - \frac{3}{13} \cdot - 4 & 0 - \frac{3}{13} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - 4 z = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 4 z \\ z \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 13 + 1 & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Simplify each element.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $13$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 + 0 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $- 56$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.5

Addiere $- 13$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.6

Addiere $- 4$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.7

Addiere $- 14$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 \\ - 14 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.8

Addiere $- 3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.9

Addiere $- 2$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 1 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 & 0 \\ - 56 & - 12 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{14}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{14}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{14}{14} & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & \frac{0}{14} \\ - 56 & - 12 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ - 56 & - 12 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 56 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 56 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ - 56 + 56 \cdot 1 & - 12 + 56 (\frac{3}{14}) & - 4 + 56 (\frac{1}{14}) & 0 + 56 \cdot 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 14 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 14 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 14 + 14 \cdot 1 & - 3 + 14 (\frac{3}{14}) & - 1 + 14 (\frac{1}{14}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{3}{14} y + \frac{1}{14} z = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{3 y}{14} - \frac{z}{14} \\ y \\ z \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{3}{14} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{14} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{3}{14} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{14} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{3}{14} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{14} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{3}{14} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{14} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$