Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Subtrahiere $λ$ von $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 2 - λ & 3 & 0 \\ 3 & - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 3 & - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3

Berechne $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.2.1.4.1

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.3.2.1.4.1.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.4.3

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.2

Stelle $- 2 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 + 3 (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (6 - 3 λ - 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5) + 0$

Schritt 1.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.1

Addiere $(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$ und $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.2.1

Multipliziere $(- 2 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (- 2 λ) - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ - 2 \cdot - 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.2.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 1.5.5.2.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.2.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 1 - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.7

Multipliziere $- λ \cdot - 1$ .

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Schritt 1.5.5.2.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 1 λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.2.7.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 λ^{2} + 4 λ + 2 - λ^{3} + 2 λ^{2} + λ$ .

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Schritt 1.5.5.2.3.1

Addiere $- 2 λ^{2}$ und $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + 0 + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.3.2

Addiere $4 λ + 2 - λ^{3}$ und $0$ .

$p (λ) = 4 λ + 2 - λ^{3} + λ - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.4

Addiere $4 λ$ und $λ$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ + 5)$

Schritt 1.5.5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} - 3 (- 3 λ) - 3 \cdot 5$

Schritt 1.5.5.2.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 3 \cdot 5$

Schritt 1.5.5.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$p (λ) = 5 λ + 2 - λ^{3} + 9 λ - 15$

Schritt 1.5.5.3

Addiere $5 λ$ und $9 λ$ .

$p (λ) = 14 λ + 2 - λ^{3} - 15$

Schritt 1.5.5.4

Subtrahiere $15$ von $2$ .

$p (λ) = 14 λ - λ^{3} - 13$

Schritt 1.5.5.5

Stelle $14 λ$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ - 13$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 14 λ - 13 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- λ^{3} + 14 λ - 13$ heraus.

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Schritt 1.7.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- λ^{3}$ heraus.

$- (λ^{3}) + 14 λ - 13 = 0$

Schritt 1.7.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $14 λ$ heraus.

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 13 = 0$

Schritt 1.7.1.1.3

Schreibe $- 13$ als $- 1 (13)$ um.

$- (λ^{3}) - (- 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

Schritt 1.7.1.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (λ^{3}) - (- 14 λ)$ heraus.

$- (λ^{3} - 14 λ) - 1 \cdot 13 = 0$

Schritt 1.7.1.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (λ^{3} - 14 λ) - 1 (13)$ heraus.

$- (λ^{3} - 14 λ + 13) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.7.1.2.1

Faktorisiere $λ^{3} - 14 λ + 13$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.7.1.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1$

Schritt 1.7.1.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 13$

Schritt 1.7.1.2.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.7.1.2.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 14 \cdot 1 + 13$

Schritt 1.7.1.2.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 14 \cdot 1 + 13$

Schritt 1.7.1.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$1 - 14 + 13$

Schritt 1.7.1.2.1.3.4

Subtrahiere $14$ von $1$ .

$- 13 + 13$

Schritt 1.7.1.2.1.3.5

Addiere $- 13$ und $13$ .

$0$

Schritt 1.7.1.2.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{λ^{3} - 14 λ + 13}{λ - 1}$

Schritt 1.7.1.2.1.5

Dividiere $λ^{3} - 14 λ + 13$ durch $λ - 1$ .

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Schritt 1.7.1.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$0 λ^{2}$

$14 λ$

$13$

Schritt 1.7.1.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$

Schritt 1.7.1.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Schritt 1.7.1.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $λ^{3} - λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Schritt 1.7.1.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$

Schritt 1.7.1.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

Schritt 1.7.1.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$

Schritt 1.7.1.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					+	$λ^{2}$	-	$λ$

Schritt 1.7.1.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $λ^{2} - λ$

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$

Schritt 1.7.1.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$

Schritt 1.7.1.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

Schritt 1.7.1.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 13 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$

Schritt 1.7.1.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							-	$13 λ$	+	$13$

Schritt 1.7.1.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 13 λ + 13$

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$

Schritt 1.7.1.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	+	$λ$	-	$13$
$λ$	-	$1$		$λ^{3}$	+	$0 λ^{2}$	-	$14 λ$	+	$13$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	-	$14 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$λ$
							-	$13 λ$	+	$13$
							+	$13 λ$	-	$13$
										$0$

Schritt 1.7.1.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$λ^{2} + λ - 13$

Schritt 1.7.1.2.1.6

Schreibe $λ^{3} - 14 λ + 13$ als eine Menge von Faktoren.

$- ((λ - 1) (λ^{2} + λ - 13)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ - 1 = 0$

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze $λ - 1$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.3.1

Setze $λ - 1$ gleich $0$ .

$λ - 1 = 0$

Schritt 1.7.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 1$

Schritt 1.7.4

Setze $λ^{2} + λ - 13$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze $λ^{2} + λ - 13$ gleich $0$ .

$λ^{2} + λ - 13 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Löse $λ^{2} + λ - 13 = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.7.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 13$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.7.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.4.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 13$ .

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Schritt 1.7.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 13$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 52}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.4.2.3.1.3

Addiere $1$ und $52$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{53}}{2}$

Schritt 1.7.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

Schritt 1.7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (λ - 1) (λ^{2} + λ - 13) = 0$ wahr machen.

$λ = 1, - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} - 2 - 1 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Simplify each element.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 - 0 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $0$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 - 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.3

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.4

Subtrahiere $0$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.6

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.7

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.8

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.9

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot - 1 & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 1 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} & 0 + 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y + \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.5

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.6

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.7

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.8

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.9

Mutltipliziere $\frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} - 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2 + 1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 + 1 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{53}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{53})$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.9

Addiere $3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.11

Addiere $3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & 0 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.12

Subtrahiere $- \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.13

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.14

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.15

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.16

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.17

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2 + 1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.19.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{4 + 1 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.19.2

Addiere $4$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = - \frac{1 - \sqrt{53}}{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} (- \frac{3 + \sqrt{53}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 3 & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{2}{3 + \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{53}}{2} - 3 \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 + \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 + \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} (- \frac{8 + \sqrt{53}}{11}) & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 1 & - \frac{11}{8 + \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 & \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 1 & \frac{5 - \sqrt{53}}{2} - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} (- 8 + \sqrt{53}) & 0 - \frac{13 + 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 0 & \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 1 & 0 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} (- 8 + \sqrt{53}) & 0 - \frac{3 (3 - \sqrt{53})}{22} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{21 - 3 \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 8 + \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{21 - 3 \sqrt{53}}{2} z = 0$

$y + (- 8 + \sqrt{53}) z = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{21 z}{2} + \frac{3 \sqrt{53} z}{2} \\ 8 z - \sqrt{53} z \\ z \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

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Schritt 5.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.5

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.6

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.7

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.8

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.9

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} - 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2 \cdot 2 + 1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4 + 1 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.4.2

Addiere $- 4$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{53}$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{53})$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{53})}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.9

Addiere $3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.11

Addiere $3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & 0 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.12

Addiere $0$ und $\frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.13

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.14

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.15

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.16

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.17

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{2 \cdot 2 + 1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.19.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{4 + 1 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2.3.19.2

Addiere $4$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} \end{array}]$

Schritt 5.3

Find the null space when $λ = - \frac{1 + \sqrt{53}}{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{53}}{2} & 3 & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} (- \frac{3 - \sqrt{53}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 3 & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{2}{3 - \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{53}}{2} - 3 \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 1 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{8 - \sqrt{53}}{11} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{11}{8 - \sqrt{53}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 0 & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} (- \frac{8 - \sqrt{53}}{11}) & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 1 & - \frac{11}{8 - \sqrt{53}} \cdot 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 & \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 1 & \frac{5 + \sqrt{53}}{2} - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} (- 8 - \sqrt{53}) & 0 - \frac{13 - 3 \sqrt{53}}{22} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 0 & \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 1 & 0 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} (- 8 - \sqrt{53}) & 0 - \frac{3 (3 + \sqrt{53})}{22} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{21 + 3 \sqrt{53}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 8 - \sqrt{53} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{21 + 3 \sqrt{53}}{2} z = 0$

$y + (- 8 - \sqrt{53}) z = 0$

$0 = 0$

Schritt 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{21 z}{2} - \frac{3 \sqrt{53} z}{2} \\ 8 z + \sqrt{53} z \\ z \end{array}]$

Schritt 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} + \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 - \sqrt{53} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{21}{2} - \frac{3 \sqrt{53}}{2} \\ 8 + \sqrt{53} \\ 1 \end{array}]}$