Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 & - 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (3 - λ) (- 3 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Multipliziere $(3 - λ) (- 3 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 3 (- 3 - λ) - λ (- 3 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 3 \cdot - 3 + 3 (- λ) - λ (- 3 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 3 \cdot - 3 + 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$p (λ) = - 9 + 3 (- λ) - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = - 9 - 3 λ - λ \cdot - 3 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 9 - 3 λ + 3 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 9 - 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 9 - 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 9 - 3 λ + 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 9 - 3 λ + 3 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = - 9 - 3 λ + 3 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2.2

Addiere $- 3 λ$ und $3 λ$ .

$p (λ) = - 9 + 0 + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.2.3

Addiere $- 9$ und $0$ .

$p (λ) = - 9 + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 1.5.2.1.3

Multipliziere $- (- 2 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$p (λ) = - 9 + λ^{2} - - 8$

Schritt 1.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$p (λ) = - 9 + λ^{2} + 8$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $- 9$ und $8$ .

$p (λ) = λ^{2} - 1$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 1 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ^{2} = 1$

Schritt 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

Schritt 1.7.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$λ = \pm 1$

Schritt 1.7.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.7.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$λ = 1$

Schritt 1.7.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$λ = - 1$

Schritt 1.7.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$λ = 1, - 1$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 3 - 1 & 4 - 0 \\ - 2 - 0 & - 3 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Simplify each element.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 - 0 \\ - 2 - 0 & - 3 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $0$ von $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ - 2 - 0 & - 3 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.3

Subtrahiere $0$ von $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ - 2 & - 3 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.4

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 4 & 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{4}{2} & \frac{0}{2} \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 2 y = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 y \\ y \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 3 + 1 & 4 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Simplify each element.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $3$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 4 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $- 2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 2 & - 3 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $- 3$ und $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 4 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{4}{4} & \frac{0}{4} \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$