Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $4$ ist die $4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{4}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.10

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.12

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.12.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.12.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.13

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.13.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.13.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.14

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.14.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.15

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.15.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.15.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Addiere $- 3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $12$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 + 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $- 2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.8

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.9

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.11

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5

Berechne $| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$

Schritt 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) ((3 - λ) (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.1

Multipliziere $(3 - λ) (3 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (3 (3 - λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.2.2

Subtrahiere $3 λ$ von $- 3 λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.2

Addiere $9 - 6 λ + λ^{2}$ und $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.3

Bewege $9$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (- 6 λ + λ^{2} + 9) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.4.2.4

Stelle $- 6 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 + 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.1.1

Addiere $(4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)$ und $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.1.2

Addiere $(4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)$ und $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.2

Multipliziere $(4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} + 4 (- 6 λ) + 4 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.3.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 4 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.3.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.3.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.5.3.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} + 6 λ^{2} - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.3.7

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.4

Addiere $4 λ^{2}$ und $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = (6 - λ) (10 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - 9 λ) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.5

Subtrahiere $9 λ$ von $- 24 λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (10 λ^{2} - 33 λ + 36 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.6

Bewege $36$ .

$p (λ) = (6 - λ) (10 λ^{2} - 33 λ - λ^{3} + 36) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.7

Bewege $- 33 λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (10 λ^{2} - λ^{3} - 33 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.5.5.8

Stelle $10 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = (6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Schritt 1.5.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36) + 0 + 0 + 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.1.1

Addiere $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$ und $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36) + 0 + 0$

Schritt 1.5.6.1.2

Addiere $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$ und $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36) + 0$

Schritt 1.5.6.1.3

Addiere $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$ und $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$

Schritt 1.5.6.2

Multipliziere $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 6 (- λ^{3}) + 6 (10 λ^{2}) + 6 (- 33 λ) + 6 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 6 (10 λ^{2}) + 6 (- 33 λ) + 6 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} + 6 (- 33 λ) + 6 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.3

Mutltipliziere $- 33$ mit $6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 6 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.4

Mutltipliziere $6$ mit $36$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.6

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.6.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.6.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.6.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + 1 λ^{4} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.8

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 λ \cdot λ^{2} - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.10

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.10.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 (λ^{2} λ) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.10.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.10.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 λ^{2 + 1} - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.10.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 λ^{3} - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} - 1 \cdot - 33 λ \cdot λ - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.13

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.3.13.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} - 1 \cdot - 33 (λ \cdot λ) - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.13.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} - 1 \cdot - 33 λ^{2} - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 33$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} + 33 λ^{2} - λ \cdot 36$

Schritt 1.5.6.3.15

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} + 33 λ^{2} - 36 λ$

Schritt 1.5.6.4

Subtrahiere $10 λ^{3}$ von $- 6 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} + 33 λ^{2} - 36 λ$

Schritt 1.5.6.5

Addiere $60 λ^{2}$ und $33 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 36 λ$

Schritt 1.5.6.6

Subtrahiere $36 λ$ von $- 198 λ$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216 + λ^{4}$

Schritt 1.5.6.7

Bewege $216$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + λ^{4} + 216$

Schritt 1.5.6.8

Bewege $- 234 λ$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} + λ^{4} - 234 λ + 216$

Schritt 1.5.6.9

Bewege $93 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$

Schritt 1.5.6.10

Stelle $- 16 λ^{3}$ und $λ^{4}$ um.

$p (λ) = λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 216, \pm 2, \pm 108, \pm 3, \pm 72, \pm 4, \pm 54, \pm 6, \pm 36, \pm 8, \pm 27, \pm 9, \pm 24, \pm 12, \pm 18$

$q = \pm 1$

Schritt 1.7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 216, \pm 2, \pm 108, \pm 3, \pm 72, \pm 4, \pm 54, \pm 6, \pm 36, \pm 8, \pm 27, \pm 9, \pm 24, \pm 12, \pm 18$

Schritt 1.7.1.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{4} - 16 \cdot 3^{3} + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 - 16 \cdot 3^{3} + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$81 - 16 \cdot 27 + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $27$ .

$81 - 432 + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.5

Subtrahiere $432$ von $81$ .

$- 351 + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- 351 + 93 \cdot 9 - 234 \cdot 3 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.7

Mutltipliziere $93$ mit $9$ .

$- 351 + 837 - 234 \cdot 3 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.8

Addiere $- 351$ und $837$ .

$486 - 234 \cdot 3 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.9

Mutltipliziere $- 234$ mit $3$ .

$486 - 702 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.10

Subtrahiere $702$ von $486$ .

$- 216 + 216$

Schritt 1.7.1.1.3.11

Addiere $- 216$ und $216$ .

$0$

Schritt 1.7.1.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216}{λ - 3}$

Schritt 1.7.1.1.5

Dividiere $λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$ durch $λ - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

Schritt 1.7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $λ^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

Schritt 1.7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

Schritt 1.7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $λ^{4} - 3 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

Schritt 1.7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

Schritt 1.7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 13 λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 13 λ^{3} + 39 λ^{2}$

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $54 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $54 λ^{2} - 162 λ$

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

Schritt 1.7.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 72 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

Schritt 1.7.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

$72 λ$

$216$

Schritt 1.7.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 72 λ + 216$

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

$72 λ$

$216$

Schritt 1.7.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

$72 λ$

$216$

$0$

Schritt 1.7.1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72$

Schritt 1.7.1.1.6

Schreibe $λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 3) (λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere $λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

$q = \pm 1$

Schritt 1.7.1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

Schritt 1.7.1.2.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 13 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 72$

Schritt 1.7.1.2.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 13 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 72$

Schritt 1.7.1.2.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 13 \cdot 9 + 54 \cdot 3 - 72$

Schritt 1.7.1.2.3.4

Mutltipliziere $- 13$ mit $9$ .

$27 - 117 + 54 \cdot 3 - 72$

Schritt 1.7.1.2.3.5

Subtrahiere $117$ von $27$ .

$- 90 + 54 \cdot 3 - 72$

Schritt 1.7.1.2.3.6

Mutltipliziere $54$ mit $3$ .

$- 90 + 162 - 72$

Schritt 1.7.1.2.3.7

Addiere $- 90$ und $162$ .

$72 - 72$

Schritt 1.7.1.2.3.8

Subtrahiere $72$ von $72$ .

$0$

Schritt 1.7.1.2.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72}{λ - 3}$

Schritt 1.7.1.2.5

Dividiere $λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72$ durch $λ - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

Schritt 1.7.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$

Schritt 1.7.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $λ^{3} - 3 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 10 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$30 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 10 λ^{2} + 30 λ$

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$

Schritt 1.7.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$

Schritt 1.7.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $24 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$24$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$

Schritt 1.7.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$24$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$
							+	$24 λ$	-	$72$

Schritt 1.7.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $24 λ - 72$

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$24$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$
							-	$24 λ$	+	$72$

Schritt 1.7.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$24$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$
							-	$24 λ$	+	$72$
										$0$

Schritt 1.7.1.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$λ^{2} - 10 λ + 24$

Schritt 1.7.1.2.6

Schreibe $λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 3) ((λ - 3) (λ^{2} - 10 λ + 24)) = 0$

Schritt 1.7.1.3

Faktorisiere $λ^{2} - 10 λ + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.3.1

Faktorisiere $λ^{2} - 10 λ + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.3.1.1

Faktorisiere $λ^{2} - 10 λ + 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.3.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 6, - 4$

Schritt 1.7.1.3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(λ - 3) ((λ - 3) ((λ - 6) (λ - 4))) = 0$

Schritt 1.7.1.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ - 3) ((λ - 3) (λ - 6) (λ - 4)) = 0$

Schritt 1.7.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ - 3) (λ - 3) (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.4

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.4.1

Potenziere $λ - 3$ mit $1$ .

$(λ - 3) (λ - 3) (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.4.2

Potenziere $λ - 3$ mit $1$ .

$(λ - 3) (λ - 3) (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(λ - 3)}^{1 + 1} (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(λ - 3)}^{2} (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

$λ - 6 = 0$

$λ - 4 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze ${(λ - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.3.1

Setze ${(λ - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Schritt 1.7.3.2

Löse ${(λ - 3)}^{2} = 0$ nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.3.2.1

Setze $λ - 3$ gleich $0$ .

$λ - 3 = 0$

Schritt 1.7.3.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 3$

Schritt 1.7.4

Setze $λ - 6$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.1

Setze $λ - 6$ gleich $0$ .

$λ - 6 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 6$

Schritt 1.7.5

Setze $λ - 4$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.5.1

Setze $λ - 4$ gleich $0$ .

$λ - 4 = 0$

Schritt 1.7.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 4$

Schritt 1.7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(λ - 3)}^{2} (λ - 6) (λ - 4) = 0$ wahr machen.

$λ = 3, 6, 4$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $- 3$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.12

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.14

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.15

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.16

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 6 - 3 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $12$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.6

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.8

Addiere $- 2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.9

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.11

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.14

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.15

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.16

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{12}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 4 - 2 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + x_{3} + 2 x_{4} = 0$

$x_{2} + x_{3} - 2 x_{4} = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{3} - 2 x_{4} \\ - x_{3} + 2 x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $- 6$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.11

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.12

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.13

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.14

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.15

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.16

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 6 - 6 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $12$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.8

Addiere $- 2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.9

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.11

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.13

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.14

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.15

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.16

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 12 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot - 4 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot - 10 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 30 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{30}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{30}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ - \frac{1}{30} \cdot 0 & - \frac{1}{30} \cdot 0 & - \frac{1}{30} \cdot 0 & - \frac{1}{30} \cdot - 30 & - \frac{1}{30} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & 0 + 10 \cdot 0 & 1 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 0 + 4 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{2} = 0$

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{1} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{1} \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $- 4$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.12

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.14

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.15

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.16

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 6 - 4 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.4

Addiere $12$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.6

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.7

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.8

Addiere $- 2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.9

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.11

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.13

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.14

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.15

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.16

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Schritt 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{0}{2} & \frac{12}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 2 & 0 + 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4.2

Vereinfache $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 6 \cdot 0 & - \frac{3}{2} - 6 \cdot 0 & 0 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - \frac{3}{2} x_{2} = 0$

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Schritt 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 x_{2}}{2} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.6

Write as a solution set.

${x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{2} \in R}$

Schritt 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$