Lineare Algebra Beispiele

[\begin{array}{c} 1 + i \\ 1 - i \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + i \\ 1 - i \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

\sqrt{{| 1 + i |}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{| 1 + i |}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende die Formel

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

\sqrt{{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\sqrt{{\sqrt{1 + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{1 + 1^{2}}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\sqrt{{\sqrt{1 + 1}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{1 + 1}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.5

Schreibe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ als

2

$2$ um.

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Schritt 2.5.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ als

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

\sqrt{2^{1} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2^{1} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

\sqrt{2^{1} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2^{1} + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.5.5

Berechne den Exponenten.

\sqrt{2 + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

\sqrt{2 + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + {| 1 - i |}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Formel

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

\sqrt{2 + {\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + {\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\sqrt{2 + {\sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + {\sqrt{1 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.8

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

\sqrt{2 + {\sqrt{1 + 1}}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + {\sqrt{1 + 1}}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

\sqrt{2 + {\sqrt{2}}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + {\sqrt{2}}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.10

Schreibe

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ als

2

$2$ um.

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Schritt 2.10.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ als

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1^{2}}$

Schritt 2.10.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Schritt 2.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}} + 1^{2}}$

Schritt 2.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

\sqrt{2 + 2^{1} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + 2^{1} + 1^{2}}$

\sqrt{2 + 2^{1} + 1^{2}}

$\sqrt{2 + 2^{1} + 1^{2}}$

Schritt 2.10.5

Berechne den Exponenten.

\sqrt{2 + 2 + 1^{2}}

$\sqrt{2 + 2 + 1^{2}}$

\sqrt{2 + 2 + 1^{2}}

$\sqrt{2 + 2 + 1^{2}}$

Schritt 2.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

\sqrt{2 + 2 + 1}

$\sqrt{2 + 2 + 1}$

Schritt 2.12

Addiere

2

$2$ und

2

$2$ .

\sqrt{4 + 1}

$\sqrt{4 + 1}$

Schritt 2.13

Addiere

4

$4$ und

1

$1$ .

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

Dezimalform:

2.23606797 \dots

$2.23606797 \dots$