Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & - 2 & 3 \\ 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ 2 & \frac{1}{2} & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the matrix.

$\sqrt{4^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{16 + 1 + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.14

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.15

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.16

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.17

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.18

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.19

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.20

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.21

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1^{2}}$

Schritt 2.22

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.23

Addiere $16$ und $1$ .

$\sqrt{17 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.24

Addiere $17$ und $4$ .

$\sqrt{21 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.25

Addiere $21$ und $9$ .

$\sqrt{30 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.26

Addiere $30$ und $1$ .

$\sqrt{31 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.27

Um $31$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{31 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.28

Kombiniere $31$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.30.1

Mutltipliziere $31$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{496 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.30.2

Addiere $496$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.31

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.32

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.32.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.32.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.33

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{497 + 4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.34

Addiere $497$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{501}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.35

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{501 + 9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.36

Addiere $501$ und $9$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.37

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.38

Kombiniere $4$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.39

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{510 + 4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.40

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.40.1

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{510 + 64}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.40.2

Addiere $510$ und $64$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.41

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + 1 + 1}$

Schritt 2.42

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.42.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + 1 + 1}$

Schritt 2.42.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{16} + 1 + 1}$

Schritt 2.43

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{574 + 4}{16} + 1 + 1}$

Schritt 2.44

Addiere $574$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{578}{16} + 1 + 1}$

Schritt 2.45

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{578}{16} + \frac{16}{16} + 1}$

Schritt 2.46

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{578 + 16}{16} + 1}$

Schritt 2.47

Addiere $578$ und $16$ .

$\sqrt{\frac{594}{16} + 1}$

Schritt 2.48

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{594}{16} + \frac{16}{16}}$

Schritt 2.49

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{594 + 16}{16}}$

Schritt 2.50

Addiere $594$ und $16$ .

$\sqrt{\frac{610}{16}}$

Schritt 2.51

Kürze den gemeinsamen Teiler von $610$ und $16$ .

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Schritt 2.51.1

Faktorisiere $2$ aus $610$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (305)}{16}}$

Schritt 2.51.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.51.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

Schritt 2.51.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

Schritt 2.51.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{305}{8}}$

Schritt 2.52

Schreibe $\sqrt{\frac{305}{8}}$ als $\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$ um.

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$

Schritt 2.53

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.53.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.53.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 2.53.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.53.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 2.54

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.55

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.55.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.55.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 2.55.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 2.55.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 2.55.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.55.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.55.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.55.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.55.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.55.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.55.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.55.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.55.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 2.55.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.56

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.56.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{305 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.56.2

Mutltipliziere $305$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{610}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.57

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

Dezimalform:

$6.17454451 \dots$