Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} i + 1 & 2 & 1 & - i \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 1.1

Stelle $i$ und $1$ um.

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 & 1 & - i \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Schritt 1.2

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{1 + i}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{1 + i}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + i}{1 + i} & \frac{2}{1 + i} & \frac{1}{1 + i} & \frac{- i}{1 + i} \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 1 & i & 2 i & 2 \end{array}]$

Schritt 1.3

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 1.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 1 - 1 & i - (1 - i) & 2 i - (\frac{1}{2} - \frac{i}{2}) & 2 - (- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}) \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 0 & - 1 + 2 i & - \frac{1}{2} + \frac{5 i}{2} & \frac{5}{2} + \frac{i}{2} \end{array}]$

Schritt 1.4

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{- 1 + 2 i}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{- 1 + 2 i}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ \frac{0}{- 1 + 2 i} & \frac{- 1 + 2 i}{- 1 + 2 i} & \frac{- \frac{1}{2} + \frac{5 i}{2}}{- 1 + 2 i} & \frac{\frac{5}{2} + \frac{i}{2}}{- 1 + 2 i} \end{array}]$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \\ 0 & 1 & \frac{11}{10} - \frac{3 i}{10} & - \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10} \end{array}]$

Schritt 1.5

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - (1 - i) R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 1.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - (1 - i) R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - (1 - i) \cdot 0 & 1 - i - (1 - i) \cdot 1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (1 - i) (\frac{11}{10} - \frac{3 i}{10}) & - \frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (1 - i) (- \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10}) \\ 0 & 1 & \frac{11}{10} - \frac{3 i}{10} & - \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10} \end{array}]$

Schritt 1.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{10} + \frac{9 i}{10} & \frac{9}{10} + \frac{3 i}{10} \\ 0 & 1 & \frac{11}{10} - \frac{3 i}{10} & - \frac{3}{10} - \frac{11 i}{10} \end{array}]$

Schritt 2

Die Pivot-Positionen sind die Stellen mit der führenden $1$ in jeder Zeile. Die Pivot-Spalten sind die Spalten, die eine Pivot-Position haben.

Pivot-Positionen: $a_{11}$ und $a_{22}$

Pivot-Spalten: $1$ und $2$

Schritt 3

Der Rang ist die Zahl der Pivot-Spalten.

$2$