Lineare Algebra Beispiele

3 x - 2 y = 8

$3 x - 2 y = 8$ ,

6 y = 15 x + 12

$6 y = 15 x + 12$

Schritt 1

Subtrahiere

15 x

$15 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

3 x - 2 y = 8, 6 y - 15 x = 12

$3 x - 2 y = 8, 6 y - 15 x = 12$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

[\begin{matrix} 3 & - 2 & 8 - 15 & 6 & 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 8 \\ - 15 & 6 & 12 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

[\begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{8}{3} - 15 & 6 & 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{8}{3} \\ - 15 & 6 & 12 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} - 15 & 6 & 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ - 15 & 6 & 12 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} - 15 & 6 & 12 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ - 15 & 6 & 12 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 15 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 15 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} + 15 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 15 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} - 15 + 15 \cdot 1 & 6 + 15 (- \frac{2}{3}) & 12 + 15 (\frac{8}{3}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ - 15 + 15 \cdot 1 & 6 + 15 (- \frac{2}{3}) & 12 + 15 (\frac{8}{3}) \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} 0 & - 4 & 52 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & - 4 & 52 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} 0 & - 4 & 52 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & - 4 & 52 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 52 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 52 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} 0 & 1 & - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & - 13 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} 0 & 1 & - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 1 & - 13 \end{array}]$

Schritt 3.4

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{8}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 13 \\ 0 & 1 & - 13 \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 6 \\ 0 & 1 & - 13 \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = - 6$

$y = - 13$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- 6, - 13)$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ - 13 \end{array}]$