Lineare Algebra Beispiele

$8 i (7 - 5 i)$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 i \cdot 7 + 8 i (- 5 i)$

Schritt 2

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$56 i + 8 i (- 5 i)$

Schritt 3

Multipliziere $8 i (- 5 i)$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$56 i - 40 i i$

Schritt 3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$56 i - 40 (i^{1} i)$

Schritt 3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$56 i - 40 (i^{1} i^{1})$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$56 i - 40 i^{1 + 1}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$56 i - 40 i^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$56 i - 40 \cdot - 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 1$ .

$56 i + 40$

Schritt 5

Stelle $56 i$ und $40$ um.

$40 + 56 i$

Schritt 6

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 7

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 8

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 40$ und $b = 56$ .

$| z | = \sqrt{56^{2} + 40^{2}}$

Schritt 9

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 9.1

Potenziere $56$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{3136 + 40^{2}}$

Schritt 9.2

Potenziere $40$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{3136 + 1600}$

Schritt 9.3

Addiere $3136$ und $1600$ .

$| z | = \sqrt{4736}$

Schritt 9.4

Schreibe $4736$ als $8^{2} \cdot 74$ um.

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $64$ aus $4736$ heraus.

$| z | = \sqrt{64 (74)}$

Schritt 9.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{8^{2} \cdot 74}$

Schritt 9.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 8 \sqrt{74}$

Schritt 10

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{56}{40})$

Schritt 11

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{56}{40}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $0.95054684$ .

$θ = 0.95054684$

Schritt 12

Substituiere die Werte von $θ = 0.95054684$ und $| z | = 8 \sqrt{74}$ .

$8 \sqrt{74} (\cos (0.95054684) + i \sin (0.95054684))$