Lineare Algebra Beispiele

$\sqrt{5} + i \sqrt{5}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei

$| z |$ der Betrag und

$θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei

$z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von

$a = \sqrt{5}$ und

$b = \sqrt{5}$ .

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle

$| z |$ .

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Schritt 4.1

Schreibe

${\sqrt{5}}^{2}$ als

$5$ um.

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Schritt 4.1.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{5}$ als

$5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe

${\sqrt{5}}^{2}$ als

$5$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{5}$ als

$5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Schritt 4.3

Addiere

$5$ und

$5$ .

$| z | = \sqrt{10}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels

$\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 7

Substituiere die Werte von

$θ = \frac{π}{4}$ und

$| z | = \sqrt{10}$ .

$\sqrt{10} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$