Lineare Algebra Beispiele

$\frac{2}{3} - \frac{i}{3}$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{2}{3}$ und $b = - \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 4.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Schritt 4.6

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 4.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

Schritt 4.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}}$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 4}{9}}$

Schritt 4.10

Addiere $1$ und $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5}{9}}$

Schritt 4.11

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{9}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Schritt 4.12

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.12.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 4.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$ einen Winkel im vierten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $- 0.4636476$ .

$θ = - 0.4636476$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = - 0.4636476$ und $| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3 (\cos (- 0.4636476) + i \sin (- 0.4636476))}$