Lineare Algebra Beispiele

| - 7 - 9 i |

$| - 7 - 9 i |$

Schritt 1

Wende die Formel

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

\sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 9)}^{2}}

$\sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 9)}^{2}}$

Schritt 2

Potenziere

- 7

$- 7$ mit

2

$2$ .

\sqrt{49 + {(- 9)}^{2}}

$\sqrt{49 + {(- 9)}^{2}}$

Schritt 3

Potenziere

- 9

$- 9$ mit

2

$2$ .

\sqrt{49 + 81}

$\sqrt{49 + 81}$

Schritt 4

Addiere

49

$49$ und

81

$81$ .

\sqrt{130}

$\sqrt{130}$

Schritt 5

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei

| z |

$| z |$ der Betrag und

θ

$θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 6

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei

z = a + b i

$z = a + b i$

Schritt 7

Ersetze die tatsächlichen Werte von

a = \sqrt{130}

$a = \sqrt{130}$ und

b = 0

$b = 0$ .

| z | = \sqrt{0^{2} + {(\sqrt{130})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\sqrt{130})}^{2}}$

Schritt 8

Ermittle

| z |

$| z |$ .

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Schritt 8.1

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

| z | = \sqrt{0 + {(\sqrt{130})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0 + {(\sqrt{130})}^{2}}$

Schritt 8.2

Schreibe

{\sqrt{130}}^{2}

${\sqrt{130}}^{2}$ als

130

$130$ um.

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Schritt 8.2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{130}

$\sqrt{130}$ als

130^{\frac{1}{2}}

$130^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

| z | = \sqrt{0 + {(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{0 + {(130^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 8.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{0 + 130^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{0 + 130}$

Schritt 8.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{0 + 130}$

Schritt 8.3

Addiere

$0$ und

$130$ .

$| z | = \sqrt{130}$

Schritt 9

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\sqrt{130}})$

Schritt 10

Da die Umkehrfunktion des Tangens von

$\frac{0}{\sqrt{130}}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels

$0$ .

$θ = 0$

Schritt 11

Substituiere die Werte von

$θ = 0$ und

$| z | = \sqrt{130}$ .

$\sqrt{130} (\cos (0) + i \sin (0))$