Lineare Algebra Beispiele

$| - 1 - 2 i |$

Schritt 1

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Schritt 4

Addiere $1$ und $4$ .

$\sqrt{5}$

Schritt 5

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 6

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 7

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \sqrt{5}$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 8

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 8.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 8.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 8.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{0 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{0 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{0 + 5}$

Schritt 8.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{0 + 5}$

Schritt 8.3

Addiere $0$ und $5$ .

$| z | = \sqrt{5}$

Schritt 9

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{\sqrt{5}})$

Schritt 10

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{0}{\sqrt{5}}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $0$ .

$θ = 0$

Schritt 11

Substituiere die Werte von $θ = 0$ und $| z | = \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} (\cos (0) + i \sin (0))$