Lineare Algebra Beispiele

$(8 - 7 i) (6 + 7 i)$

Schritt 1

Multipliziere $(8 - 7 i) (6 + 7 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (6 + 7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i (6 + 7 i)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \cdot 6 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$48 + 8 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$48 + 56 i - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 7 i (7 i)$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $- 7 i (7 i)$ .

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i i$

Schritt 2.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i)$

Schritt 2.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 (i^{1} i^{1})$

Schritt 2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{1 + 1}$

Schritt 2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$48 + 56 i - 42 i - 49 i^{2}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$48 + 56 i - 42 i - 49 \cdot - 1$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $- 49$ mit $- 1$ .

$48 + 56 i - 42 i + 49$

Schritt 2.2

Addiere $48$ und $49$ .

$97 + 56 i - 42 i$

Schritt 2.3

Subtrahiere $42 i$ von $56 i$ .

$97 + 14 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 97$ und $b = 14$ .

$| z | = \sqrt{14^{2} + 97^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 97^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $97$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{196 + 9409}$

Schritt 6.3

Addiere $196$ und $9409$ .

$| z | = \sqrt{9605}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{14}{97})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{14}{97}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $0.14334005$ .

$θ = 0.14334005$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = 0.14334005$ und $| z | = \sqrt{9605}$ .

$\sqrt{9605} (\cos (0.14334005) + i \sin (0.14334005))$