Lineare Algebra Beispiele

$(5 i) (2 + 6 i)$

Schritt 1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 i \cdot 2 + 5 i (6 i)$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 i + 5 i (6 i)$

Schritt 3

Multipliziere $5 i (6 i)$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$10 i + 30 i i$

Schritt 3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$10 i + 30 (i^{1} i)$

Schritt 3.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$10 i + 30 (i^{1} i^{1})$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 i + 30 i^{1 + 1}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$10 i + 30 i^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$10 i + 30 \cdot - 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $30$ mit $- 1$ .

$10 i - 30$

Schritt 5

Stelle $10 i$ und $- 30$ um.

$- 30 + 10 i$

Schritt 6

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 7

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 8

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 30$ und $b = 10$ .

$| z | = \sqrt{10^{2} + {(- 30)}^{2}}$

Schritt 9

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 9.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{100 + {(- 30)}^{2}}$

Schritt 9.2

Potenziere $- 30$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{100 + 900}$

Schritt 9.3

Addiere $100$ und $900$ .

$| z | = \sqrt{1000}$

Schritt 9.4

Schreibe $1000$ als $10^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $100$ aus $1000$ heraus.

$| z | = \sqrt{100 (10)}$

Schritt 9.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{10^{2} \cdot 10}$

Schritt 9.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 10 \sqrt{10}$

Schritt 10

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{10}{- 30})$

Schritt 11

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{10}{- 30}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $2.81984209$ .

$θ = 2.81984209$

Schritt 12

Substituiere die Werte von $θ = 2.81984209$ und $| z | = 10 \sqrt{10}$ .

$10 \sqrt{10} (\cos (2.81984209) + i \sin (2.81984209))$