Lineare Algebra Beispiele

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(4 - 3 i)}^{2}$ als $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ um.

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Schritt 2

Multipliziere $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- 3 i (- 3 i)$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Schritt 3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9$ von $16$ .

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Schritt 3.3

Subtrahiere $12 i$ von $- 12 i$ .

$- 5 i (7 - 24 i)$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Schritt 5

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Schritt 6

Multipliziere $- 5 i (- 24 i)$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 5$ .

$- 35 i + 120 i i$

Schritt 6.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Schritt 6.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 35 i + 120 i^{2}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $120$ mit $- 1$ .

$- 35 i - 120$

Schritt 8

Stelle $- 35 i$ und $- 120$ um.

$- 120 - 35 i$

Schritt 9

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 10

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 11

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 120$ und $b = - 35$ .

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Schritt 12

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 12.1

Potenziere $- 35$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Schritt 12.2

Potenziere $- 120$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Schritt 12.3

Addiere $1225$ und $14400$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Schritt 12.4

Schreibe $15625$ als $125^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Schritt 12.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 125$

Schritt 13

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Schritt 14

Da der inverse Tangens von $\frac{- 35}{- 120}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

Schritt 15

Substituiere die Werte von $θ = 3.42538676$ und $| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$