Lineare Algebra Beispiele

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{4 + 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{- 1}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$

Schritt 2.4.2

Schreibe $- 1 \cdot ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$ als $- ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$ um.

$- ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$

Schritt 3

Multipliziere $(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 (2 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (2 + \sqrt{5}))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 + \sqrt{5}))$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2 + \sqrt{5} \sqrt{5})$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2 + \sqrt{5} \sqrt{5})$

Schritt 4.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5})$

Schritt 4.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{25})$

Schritt 4.1.5

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}})$

Schritt 4.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + 5)$

Schritt 4.2

Addiere $6$ und $5$ .

$- (11 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5})$

Schritt 4.3

Addiere $3 \sqrt{5}$ und $2 \sqrt{5}$ .

$- (11 + 5 \sqrt{5})$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 11 - (5 \sqrt{5})$

Schritt 6

Multipliziere.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$- 11 - (5 \sqrt{5})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 11 - 5 \sqrt{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 11 - 5 \sqrt{5}$

Dezimalform:

$- 22.18033988 \dots$