Lineare Algebra Beispiele

$(9 \sqrt{5} - 5 \sqrt{6}) (3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{6})$

Schritt 1

Multipliziere $(9 \sqrt{5} - 5 \sqrt{6}) (3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{6})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \sqrt{5} (3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{6})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{6})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 \sqrt{5} (3 \sqrt{5}) + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere $9 \sqrt{5} (3 \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 \sqrt{5} \sqrt{5} + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$27 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$27 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$27 {\sqrt{5}}^{2} + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$27 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$27 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$27 \cdot 5^{1} + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$27 \cdot 5 + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $27$ mit $5$ .

$135 + 9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6}) - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $9 \sqrt{5} (2 \sqrt{6})$ .

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$135 + 18 \sqrt{5} \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$135 + 18 \sqrt{6 \cdot 5} - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5}) - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $- 5 \sqrt{6} (3 \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{6} \sqrt{5} - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{5 \cdot 6} - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$

Schritt 2.1.6

Multipliziere $- 5 \sqrt{6} (2 \sqrt{6})$ .

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 \sqrt{6} \sqrt{6}$

Schritt 2.1.6.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})$

Schritt 2.1.6.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})$

Schritt 2.1.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 {\sqrt{6}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 {\sqrt{6}}^{2}$

Schritt 2.1.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 \cdot 6^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 \cdot 6^{1}$

Schritt 2.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 10 \cdot 6$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $- 10$ mit $6$ .

$135 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30} - 60$

Schritt 2.2

Subtrahiere $60$ von $135$ .

$75 + 18 \sqrt{30} - 15 \sqrt{30}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $15 \sqrt{30}$ von $18 \sqrt{30}$ .

$75 + 3 \sqrt{30}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$75 + 3 \sqrt{30}$

Dezimalform:

$91.43167672 \dots$