Lineare Algebra Beispiele

$15 [\begin{array}{c} 3 & - 6 & 5 \\ 2 & - 1 & 0 \\ - 4 & 7 & 4 \end{array}] - 5 x = 30 [\begin{array}{c} - 1 & - 2 & 1 \\ 5 & 5 & - 4 \\ - 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

Die Transformation definiert eine Abbildung von $ℝ^{3}$ auf $ℝ^{3}$ . Um zu beweisen, dass die Transformation linear ist, muss die Transformation skalare Multiplikation, Addition und den Nullvektor bewahren.

M: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Schritt 2

Beweise zunächst, dass die Transformation diese Eigenschaft erhält.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Schritt 3

Stelle zwei Matrizen auf, um den Erhalt der Additionseigenschaft für $M$ zu testen.

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Schritt 4

Addiere die zwei Matrizen.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 5

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Schritt 6

Spalte das Ergebnis durch Gruppieren der Variablen in zwei Matrizen.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 7

Da die Additionseigenschaft der Transformation nicht gegeben ist, ist dies keine lineare Transformation.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$