Lineare Algebra Beispiele

$5 [\begin{array}{c} x & y \\ y & z \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 2 x & - y \\ 3 y & - 4 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 45 & 12 - y \\ 33 & 15 \end{array}]$

Step 1

Der Kern einer Transformation ist ein Vektor, der die Transformation gleich dem Nullvektor (dem Urbild der Transformation) macht.

$[\begin{array}{c} 45 & 12 - y \\ 33 & 15 \end{array}] = 0$

Step 2

Erzeuge aus der Vektorgleichung ein Gleichungssystem.

$45 = 0$

$33 = 0$

Step 3

Subtrahiere $45$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0 = - 45$

$33 = 0$

Step 4

Subtrahiere $33$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0 = - 33$

$0 = - 45$

Step 5

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 45 \\ - 33 \end{array}]$

Step 6

Ermittle die normierte Zeilenstufenform der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Führe die Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$ auf $R_{1}$ (Zeile $1$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in $1$ umzuwandeln.

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Ersetze $R_{1}$ (Zeile $1$ ) mit der Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert $1$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{45} R_{1} \\ - 33 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$

Ersetze $R_{1}$ (Zeile $1$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{45}) \cdot (- 45) \\ - 33 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{45} R_{1}$

Vereinfache $R_{1}$ (Zeile $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 33 \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation $R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$ auf $R_{2}$ (Zeile $2$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in $0$ umzuwandeln.

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Ersetze $R_{2}$ (Zeile $2$ ) mit der Zeilenoperation $R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert $0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 33 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$

Ersetze $R_{2}$ (Zeile $2$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation $R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (33) \cdot (1) - 33 \end{array}]$

$R_{2} = 33 \cdot R_{1} + R_{2}$

Vereinfache $R_{2}$ (Zeile $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Step 7

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$0 = 1$

Step 8

Dieser Ausdruck ist die Lösungsmenge für das Gleichungssystem.

${}$

Step 9

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 10

Der Nullraum der Menge ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 11

Der Nullraum von $M$ ist der Teilraum ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$