Lineare Algebra Beispiele

$x - [\begin{array}{c} 0 & 11 & 25 & - 16 \\ 15 & 18 & 17 & - \frac{1}{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{7} & \frac{3}{4} & \frac{6}{5} \\ - 1 & - 4 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 1

Die Transformation definiert eine Abbildung von $ℝ^{2}$ auf $ℝ^{2}$ . Um zu beweisen, dass die Transformation linear ist, muss die Transformation skalare Multiplikation, Addition und den Nullvektor bewahren.

x: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Schritt 2

Beweise zunächst, dass die Transformation diese Eigenschaft erhält.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Schritt 3

Stelle zwei Matrizen auf, um den Erhalt der Additionseigenschaft für $x$ zu testen.

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Schritt 4

Addiere die zwei Matrizen.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Schritt 5

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]$

Schritt 6

Spalte das Ergebnis durch Gruppieren der Variablen in zwei Matrizen.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 7

Da die Additionseigenschaft der Transformation nicht gegeben ist, ist dies keine lineare Transformation.

$x (x + y) \neq x (x) + x (y)$