Lineare Algebra Beispiele

$\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 7$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Schritt 2.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3 x + 21$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 x + 21}]$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 21}]$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 3 (7)}]$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (7)$ heraus.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

Schritt 3.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x + 7}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x + 7}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{1}{x + 7}$ als ${(x + 7)}^{- 1}$ um.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 1}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x + 7$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [7]))$

Schritt 3.7

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + 0))$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \cdot 1)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 {(x + 7)}^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{x - x - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 2}{{(x + 7)}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{x^{2}} - \frac{2}{{(x + 7)}^{2}}$