Lineare Algebra Beispiele

$2 x + [\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ - 9 & 0 \\ 8 & 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 & 1 \\ 5 & - 4 \\ 8 & 1 \end{array}]$

Step 1

Der Kern einer Transformation ist ein Vektor, der die Transformation gleich dem Nullvektor (dem Urbild der Transformation) macht.

$[\begin{array}{c} 4 & 1 \\ 5 & - 4 \\ 8 & 1 \end{array}] = 0$

Step 2

Erzeuge aus der Vektorgleichung ein Gleichungssystem.

$4 = 0$

$5 = 0$

$8 = 0$

Step 3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0 = - 4$

$5 = 0$

$8 = 0$

Step 4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0 = - 5$

$0 = - 4$

$8 = 0$

Step 5

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0 = - 8$

$0 = - 4$

$0 = - 5$

Step 6

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 4 \\ - 5 \\ - 8 \end{array}]$

Step 7

Ermittle die normierte Zeilenstufenform der Matrix.

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Führe die Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$ auf $R_{1}$ (Zeile $1$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in $1$ umzuwandeln.

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Ersetze $R_{1}$ (Zeile $1$ ) mit der Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert $1$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} R_{1} \\ - 5 \\ - 8 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$

Ersetze $R_{1}$ (Zeile $1$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation $R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{4}) \cdot (- 4) \\ - 5 \\ - 8 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$

Vereinfache $R_{1}$ (Zeile $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 5 \\ - 8 \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation $R_{2} = 5 \cdot R_{1} + R_{2}$ auf $R_{2}$ (Zeile $2$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in $0$ umzuwandeln.

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Ersetze $R_{2}$ (Zeile $2$ ) mit der Zeilenoperation $R_{2} = 5 \cdot R_{1} + R_{2}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert $0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 5 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \end{array}]$

$R_{2} = 5 \cdot R_{1} + R_{2}$

Ersetze $R_{2}$ (Zeile $2$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation $R_{2} = 5 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (5) \cdot (1) - 5 \\ - 8 \end{array}]$

$R_{2} = 5 \cdot R_{1} + R_{2}$

Vereinfache $R_{2}$ (Zeile $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \end{array}]$

Führe die Zeilenoperation $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ auf $R_{3}$ (Zeile $3$ ) aus, um einige Elemente in der Zeile in $0$ umzuwandeln.

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Ersetze $R_{3}$ (Zeile $3$ ) mit der Zeilenoperation $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ , um einige Elemente in der Reihe in den gewünschten Wert $0$ umzuwandeln.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Ersetze $R_{3}$ (Zeile $3$ ) durch die tatsächlichen Werte der Elemente für die Zeilenoperation $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Vereinfache $R_{3}$ (Zeile $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 8

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$0 = 1$

Step 9

Dieser Ausdruck ist die Lösungsmenge für das Gleichungssystem.

${}$

Step 10

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 11

Der Nullraum der Menge ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 12

Der Nullraum von $x$ ist der Teilraum ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (x) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$