Lineare Algebra Beispiele

$T [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ y \\ 8 x + 4 y \end{array}]$

Schritt 1

Der Kern einer Transformation ist ein Vektor, der die Transformation gleich dem Nullvektor (dem Urbild der Transformation) macht.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ 8 x + 4 y \end{array}] = 0$

Schritt 2

Erzeuge aus der Vektorgleichung ein Gleichungssystem.

$x = 0$

$y = 0$

$8 x + 4 y = 0$

Schritt 3

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 8 & 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.1.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 8 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 4 - 8 \cdot 0 & 0 - 8 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Schritt 6

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 7

Write as a solution set.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 8

Der Nullraum von $T$ ist der Teilraum ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (T) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$