Lineare Algebra Beispiele

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Schritt 1

Die Transformation definiert eine Abbildung von $ℝ^{3}$ auf $ℝ^{3}$ . Um zu beweisen, dass die Transformation linear ist, muss die Transformation skalare Multiplikation, Addition und den Nullvektor bewahren.

p: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Schritt 2

Beweise zunächst, dass die Transformation diese Eigenschaft erhält.

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

Schritt 3

Stelle zwei Matrizen auf, um den Erhalt der Additionseigenschaft für $p$ zu testen.

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Schritt 4

Addiere die zwei Matrizen.

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Schritt 5

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Schritt 6

Stelle $\frac{26}{14}$ um.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Schritt 7

Spalte das Ergebnis durch Gruppieren der Variablen in zwei Matrizen.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 8

Da die Additionseigenschaft der Transformation nicht gegeben ist, ist dies keine lineare Transformation.

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$