Lineare Algebra Beispiele

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 - i$ .

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Schritt 1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{6}{6 + i}$ mit $1$ .

$\frac{6}{6 + i}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{6}{6 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $6 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Schritt 4

Multipliziere.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere $(6 + 1 i) (6 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

Schritt 4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

Schritt 4.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

Schritt 4.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

Schritt 4.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

Schritt 4.3.2.9

Addiere $- 6 i$ und $6 i$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

Schritt 4.3.2.10

Addiere $36$ und $0$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

Schritt 4.3.4

Addiere $36$ und $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{37}$

Schritt 5

Zerlege den Bruch $\frac{36 - 6 i}{37}$ in zwei Brüche.

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

Schritt 7

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 8

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 9

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = \frac{36}{37}$ und $b = - \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Schritt 10

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 10.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{6}{37}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Schritt 10.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{6}{37}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\frac{6^{2}}{37^{2}}$ mit $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Schritt 10.2.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Schritt 10.2.4

Potenziere $37$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Schritt 10.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{36}{37}$ an.

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

Schritt 10.2.6

Potenziere $36$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

Schritt 10.2.7

Potenziere $37$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

Schritt 10.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

Schritt 10.2.9

Addiere $36$ und $1296$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1332$ und $1369$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $37$ aus $1332$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

Schritt 10.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $37$ aus $1369$ heraus.

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Schritt 10.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

Schritt 10.4

Schreibe $\sqrt{\frac{36}{37}}$ als $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

Schritt 10.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{37}}$ mit $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Schritt 10.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.7.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{37}}$ mit $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Schritt 10.7.2

Potenziere $\sqrt{37}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Schritt 10.7.3

Potenziere $\sqrt{37}$ mit $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Schritt 10.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Schritt 10.7.6

Schreibe ${\sqrt{37}}^{2}$ als $37$ um.

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Schritt 10.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{37}$ als $37^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Schritt 10.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Schritt 11

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

Schritt 12

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ einen Winkel im vierten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $- 0.16514867$ .

$θ = - 0.16514867$

Schritt 13

Substituiere die Werte von $θ = - 0.16514867$ und $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ .

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$